Supposons d'abord que le plan passe par l'origine

on déterminera sa position par l'angle $ que fait avec OX sa trace OX' sur le plan XOY, et par l'angle 0 que fait avec OZ la normale OZ' à ce plan (fig. 275).

Par le point 0 menons dans le plan une droite OY' perpendiculaire à OX'; nous rapporterons la courbe d'intersection aux deux axes rectangulaires OX' et OY' situés dans son plan. Supposons d'abord que l'on fasse tourner les axes primitifs autour de OZ d'un angle 41 pour amener OX sur OX'; OY prendra dans le plan XOY une position OYt perpendiculaire à OX'; la coordonnée z ne change pas et Ton a

x = x' cos <!> — y ! sin <J>, y = x' sin ty -\- V i cos ^* Les quatre droites OYu OY', OZ, OZ', perpendiculaires à OX', sont dans un même plan perpendiculaire à cette droite ; faisons tourner le second système d'axes autour de OX' de l'angle 6 pour amener OYt sur OY', et par suite OZ sur OZ'; la coordonnée x' ne change pas, et l'on a

yt = y' cos ô — z' sin 6, z = y' sin 6 -f- z' cos 6. Si l'on considère un point situé dans le plan X'OY', la coordonnée z' étant nulle, les dernières formules se réduisent à yi=y' cosô, z = y'sinô, et l'on a ainsi

/ x = x' cos ^ — y' sin ty cos 0, (12) iy = x' sin ^ + y' cos ^ cosô.

[z =y' sin 6.

Pour avoir l'équation de la courbe d'intersection dans son plan, il suffira de remplacer x, y, z par ces valeurs dans l'équation de la surface.

On peut déduire ces formules de celles d'Euler en y faisant <p = o et z'=o. Si le plan sécant, défini de la même manière quant à sa direction, au lieu d'être mené par l'origine, passait par un point ayant pour coordonnées a, b, c, dans les formules précédentes on mettrait x — a, y — b, z — c à la place de x, y, z.