DU PLAN

430. L'équation générale du premier degré entre les variables x, y, z est (i) Âtf + By + Cz + D^o.

Nous avons vu (n° 426) que cette équation représente un plan; mais il est bon de démontrer directement cette proposition. L'équation renferme trois paramètres arbitraires qui sont les rapports de trois des quantités A, B, C, D à la quatrième. D'abord, si deux des coefficients A, B, C, par exemple A et B, sont nuls, l'équation se réduit à la forme

Cz + D = o, ou z = — 7^; elle représente un plan qui est parallèle au plan XOY, et qui coupe l'axe des z à une distance — ^ de l'origine (n° 4*3). Si

un seul des coefficients des variables, par exemple C, est nul,

on a l'équation

Ax + By + T> = o,

qui représente, dans le plan XOY, une droite, et dans l'espace un plan parallèle àOZ et mené par cette droite.

Supposons enfin qu'aucun des coefficients des variables ne soit nul. On obtient les traces de la surface sur les trois plans coordonnés XOY, YOZ, ZOX, en faisant dans l'équation proposéfi s=o, ou# = o, ouy = o, ce qui donne trois droites PQ, QR, RP (fig. 277), ayant pour équations Aa? + By + D = o, By + Cz + D = o, A#-fCz + D = o.

Coupons la surface par un plan z = c, parallèle au plan XOY; la projection de l'intersection sur le plan XOY a pour équation

Aa? + By + Cc + D = o;.

c'est une droite G'H' parallèle à PQ. L'intersection elle-même,

étant la ligne suivant laquelle le plan z = c, parallèle à XOY, rencontre le plan projetant mené par G'H', est une droite GH parallèle à G'H', et, par conséquent, parallèle à PQ.

D'ailleurs la droite GH rencontre la droite PR au point G. On peut donc regarder la surface

comme décrite par une droite GH, qui se meut parallèlement

à la droite PQ, en s'appuyant constamment sur une autre

droite PR ; donc la surface est un plan.

431. Réciproquement, tout plan est représenté par une équation du premier degré entre les variables x, y, z. Car lorsque le plan est parallèle à l'un des plans coordonnés, XOY par exemple, si l'on appelle c la coordonnée z du point où il rencontre l'axe OZ, son équation est z = c. En second lieu, si le plan est parallèle à l'un des axes, OZ par exemple, sa trace sur le plan XOY a une équation de la forme A#+ By + D = o ; celle-ci représente, dans l'espace, le plan donné.

Enfin, supposons que le plan ne soit parallèle à aucun des axes ; soient

z = ax + t, z = by + y

les équations de ses traces PR et QR sur les plans XOZ et YOZ. On peut disposer des coefficients de l'équation

(i) Ax + By + Cz + D = o,

de manière que le plan qu'elle représente coïncide avec le plan

proposé. En effet, les traces du plan représenté par l'équation (1) sur les plans XOZ et YOZ ont pour équations ___ A D __ B D

z-~~cx~c' z~~cy~~c;

elles coïncideront avec les traces PR, QR du plan proposé, si Ton a

c"a> c=-ft' C=~y>

ou A = — Cfl, B= — C*, D = - Cy.

L'équation (1), dans laquelle on substitue les valeurs précédentes, devient, après la suppression du facteur C, z — ax — by — y = o.