Soient

les équations de la droite, et

Ax + By + Cz + T) = o

celle du plan. Les coordonnées x, y, z du point cherché vérifient à la fois ces quatre équations. Or les trois premières donnent

(5) x = af + af , y = y' + Jp , z = z' + c?,

d'où en portant ces valeurs dans l'éauation du plan

Aa/ + By + Cz' + D + p (Aa + Bb + Cc)=o

Aaf + By' + W + V

p~~ Aa + Bô + Gc

En substituant cette valeur de p dans les formules (3) on aura les coordonnées du point d'intersection. Si Ton a

Aa + Bô + Cc = o

la valeur de p devenant infinie, le point de rencontre s'éloigne à l'infini et la droite est parallèle au plan.

Si l'on a en même temps (6) Aa + Bb + Cc=o , A#' + B*/' + Cz' + D = o

la valeur de p est indéterminée et la droite tout entière est située dans le plan. La première des conditions (6) exprime que la droite est parallèle au plan ; la seconde que le point (xr, y\ z') de la droite est situé dans le plan.

Remarque. Proposons- nous de former l'équation du plan déterminé par une droite ayant pour équations

abc

et un point M ayant pour coordonnées x" , y11 , z\ Si l'on désigne par

Ax + By + Gz + D = o

l'équation du plan, on aura d'abord

puis, d'après les conditions (6),

A^' + Bt/' + Cs' + D^o

Aa + Bb +Cc =o; l'élimination de A, B, C, D entre ces quatre équations donne l'équation du plan demandé