CONDITION POUR QUE DEUX DROITES SE RENCONTRENT

443. Deux droites placées arbitrairement dans l'espace ne se rencontrent pas en général; pour qu'elles se rencontrent, il faut et il suffit que leurs équations

abc

ai b{ ci

soient satisfaites par un même système de valeurs de x, y, z On obtiendrait donc la condition demandée en éliminant x, y, z entre les quatre équations ci-dessus. On l'obtient plus rapidement en remarquant que si

Ax + By + Gz + D = o

est l'équation du plan contenant à la fois les deux droites, on a, d'après les conditions (6) appliquées successivement aux deux droites,

ka + Bb +Cc =o, Ax' +B// + Cz' +D^0

Aal + Bb, + Oâ = o, Ax\ + By\ + Cz\ + D = o

d'où

A(x'-x\) + V(y'-y'i) + C(z'-z'i) = o Aa + Bb +Cc =o Aai-{-Bbi +Cc1=o,

équations qui donnent, par l'élimination de A, B, G, la condition cherchée

# — ^ i y — y i * — zi

ai bi cl

Cette condition est satisfaite en particulier quand les droites sont parallèles, car alors les éléments des deux dernières lignes sont proportionnels.

Remarque. Posons, pour abréger l'écriture, p =ô z' — c y' , q = c x' — a z' , r =a yf — b x' Pi = bi*'i—Ciy'i > ïi=V'i-¥'i>^i=fliy'i-M'i» la condition (7) pourra s'écrire

<*Pi + Hi + C7\ + aiP + bd + cir = °-

ÉQUATION GÉNÉRALE DES PLANS QUI PASSENT PAR LA DROITE D'INTERSECTION DE DEUX PLANS DONNES

444. Soient Aa? + Bty+C* + D=o, A!x+B'y-\-C'z-\-T)' =0 les équations des deux plans ; l'équation

(9) (Ao? + By + C« + D) — *(A,âr+B,y + C'a + D') = P>

dans laquelle le paramètre k est arbitraire, représentera tous les plans qui passent par la droite d'intersection des deux premiers plans. Il est évident d'abord que, quelle que soit la valeur attribuée au paramètre k, le plan représenté par l'équation (9) passera par la droite d'intersection des plans donnés; car cette équation est vérifiée par les coordonnées de chacun des points communs aux deux plans. On voit ensuite que l'équation (9) représente tous les plans qui passent par la droite d'intersection des deux plans donnés; car l'un quelconque de ces plans est défini par la droite d'intersection et un point (x' , y' , z') pris arbitrairement dans l'espace ; or on peut déterminer le paramètre k de manière que le plan (9) passe par ce point, ce qui donne la condition

{Aaf + By' + Gzf + D) - k (AV + B'y' + GV + D') = 0 ,

d'où l'on déduit la valeur de k. Le plan cherché a pour équation

Ax +By+Gz + D A'a? + B'y + Cz + D' Ax' + By' + (V + DD — AV + By + GY + D' '

Remarque. Considérons le plan dont l'équation se déduit de l'équation (9) par le changement de k en — k

(9') (Ax + By + Qz + D) + k (A'x + B'y + C's + D') = 0.

On reconnaît, comme en géométrie plane n° 69, que les points M-t et M2, où les plans (9) et (9 ) sont rencontrés par

GEOM. ANALYT. 34

une sécante quelconque, sont conjugués harmoniques par rapport aux points M et M' où les plans donnés sont rencontrés par cette même sécante. On dit, pour cette raison, que les plans (9) et (9') sont conjugués harmoniques par rapport aux plans donnés.