PAR UNE DROITE MENER UN PLAN PERPENDICULAIRE A UN PLAN DONNÉ

445. Soient Ax+By+Cz+V = o, A'a?+B'y+C'8 + D'=o les équations de la droite donnée, A!'x + B"y + G"z -f D" = 0 celle du plan donné. Le plan cherché, passant par la droite, a une équation de la forme

(A* + By + Gz + D) - k {k!x + B'y + C* + D') = o. Ce plan sera perpendiculaire au plan donné, si la condition

A"(A - kkr) + B"(B - *B') + C"(C - kC) = 0 est vérifiée (n° 438), les axes étant supposés rectangulaires;

on en déduit

A"A +Bf/B +C"C

A'A' + B'B' + G'CT et le plan cherché a pour équation

( 1 0) (A'A"+B'B"+ C'C") (Ax + By + Cz + D) = (A"A + B"B -f C"C) (A'x + B'y + Cz + D')

Les trois plans donnés forment un angle trièdre; par l'une des arêtes nous avons mené un plan perpendiculaire à la face opposée. Les plans menés par chacune des autres arêtes perpendiculairement à la face opposée ont de même pour équations

(A"A + B"B -f C"C) (A' X + Wy + C'z + D') - (AA' + BB' + CC) (A"x + Wy + Cz+ D"), (AA' + BB' + CC) (Al'x + Wy + G'z + D") = (A'A"-f B'B"+ C'C") (Ax + By + Cs -f D ).

En ajoutant les deux premières équations membre à membre, on trouve la troisième; on en conclut que les trois plans passent par une même droite.