Dans les questions relatives à la iigne droite, que

nous avons traitées jusqu'à présent, excepté dans la question

précédente, nous n'avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées; dans tout ce qui suit, nous supposerons les coordonnées rectangulaires.

Soient ;

Fig. 279.

les équations d'une droite. La parallèle OL menée par l'origine (flg. 279) aura pour équations

abc

Désignons par a, p, y les angles que fait la droite OL avec les axes. Prenons sur cette droite un point M situé à une distance l de l'origine. Les coordonnées x, y, z du point M étant les projections orthogonales de la droite OM sur les axes, on a

#— ./C0Sa , y = lcosÇ> , s=:/c0Sy.

Si Ton substitue ces valeurs dans les équations de la droite OL, il vient

COS a COS fi ™° *' — l

cos y

a b c Va* + b*+c*

Le double signe se rapporte aux deux directions de la droite.

PAR UN POINT MENER UNE DROITE QUI FASSE A^EG LES AXES DES ANGLES DONNES

447. Proposons-nous de mener par le point M', dont les coordonnées sont x\ y\ z', une droite qui fasse avec les axes des coordonnées rectangulaires les angles a, p, y. La droite «cherchée est représentée par des équations de la forme

ùj — x' y — y' z — z'

mais on a

COS a

cos p COS y

on en déduit

COS a COSp COS Y

On peut obtenir directement ces équations; si Ton désigne par x, y, z les coordonnées d'un point quelconque M de la droite, et par p la distance M'M, les différences x — x' , y — y' z — zr sont les projections de la longueur M'M sur les axes des coordonnées. D'un autre côté, si la longueur M'M est comptée à partir du point M' dans la direction qui fait avec les axes les angles a, p, y, ces projections sont égales à p cos a, p cos p, p cos y; si la longueur M'M est comptée dans la direction opposée, ces projections sont égales à — p cos a, — p cos p, — p cos y* On a donc dans tous les cas

x — #' = pcosa , y — y' — pcosp , 2— z' = p cos y,

ou

x — x' y — y' z — js'

COS a COS (3 COS Y V '

en convenant de regarder la longueur p comme positive ou négative, suivant qu'elle est parcourue dans la première direction ou dans la direction opposée.