PAR UN POINT DONNÉ MENER UNE DROITE PERPENDICULAIRE A UN PLAN DONNE

451. Soient #',?/',*' les coordonnées du point donné M, Ax + By + Gz + D = o l'équation du plan. Les équations de la droite cherchée seront de la forme

Cette droite sera perpendiculaire au plan donné, si les relations

A B G abc

sont vérifiées; par suite la droite cherchée a pour équations

On obtient immédiatement ces équations, en remarquant que les numérateurs sont proportionnels aux cosinus des angles que la droite fait avec les axes, tandis que les dénominateurs sont proportionnels aux cosinus des angles que la normale au plan fait avec les axes; la droite coïncidant avec la normale, ces deux séries de quantités sont proportionnelles.

452. Les coordonnées du pied de la perpendiculaire c'està-dire du point P où la perpendiculaire perce le plan, seront données par les deux équations (17) jointes à l'équation du plan. On peut mettre l'équation du plan sous la forme

k{x-x') + V{y-yf) + Z{z -*') = - (As' + By'+Cz' + D);

en ajoutant les numérateurs et les dénominateurs des rapports égaux (17), après avoir multiplié les deux termes du premier par A, ceux du second par B, ceux du troisième par G, on forme un nouveau rapport égal à chacun des précédents, savoir A(x-x') + B(y-y') + C(z-z')=-(kx' + By' + Cz' + V)^

on a ainsi les équations

/ «> x -x> ___y-y' __z-z' -(kx' + By' + W + D) {lb) A ~~ B ~ C ~~ A2+B2 + G2

qui déterminent le pied de la perpendiculaire.

On obtiendra la longueur de la perpendiculaire en remplaçant les différences x — x\ y — y\ s — 2' par leurs valeurs dans la formule

/ = Sjix - X'f + (y-y>y + (z- Z')\

ce qui donne

±(As' + By/ + Cz' + D)

On retrouve ainsi la formule à laquelle nous avons déjà été conduits par une autre méthode (n° 4^7)-