DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE DONNEE

456. Appelons toujours x", y", z" les coordonnées du point donnéM. Supposons d'abord que la droite donnée OL passe par l'origine et désignons par a, p, y les angles qu'elle fait avec les axes des coordonnées rectangulaires. La perpendiculaire MP, abaissée du point M sur la droite OL, étant un côté d'un triangle rectangle OMP (fig. 280), on a

Z2 = MP2 = ÔM2 — ÔP2.

La distance OM est connue; elle est donnée par la formule

OM2=tf,/2+y/2 + s''2.

Quant à la distance OP, c'est la projection de la droite OM sur la droite OL; en exprimant que la projection de la droite OM est égale à celle de la ligne brisée 0 ABM, dont les côtés sont les coordonnées x\ y\ z" du point M, on a

OP = x" cos a -[- y" cos p + z" cos y

Il vient de la sorte

(20) /2 = #"2 + y"2 + *"* — (#" cos a + y" cos p + z" cos y)2. On peut mettre cette formule sous une autre forme. Si

Ton multiplie la quantité x"2 + y"2+z"2 par cos2 a 4- cos2 p + cos2 y , c'est-à-dire par l'unité, on a

P = {x"2 + y"2 + z"2) (cos2 a + cos2 p + cos2y) — {x" cos a 4- y" cos p 4- *" cos y)2 ; en effectuant les calculs et groupant convenablement les termes, on obtient la formule

(21) Z2 == (if cos y — *" cos p)2 4- {z" cos a — *" cos y)2