x' cos p — y" COS a

Supposons maintenant que la droite donnée ne passe pas par l'origine et soient

les équations de cette droite. Imaginons que Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point de la droite, par exemple au point (x', yr, z') ; les coordonnées du point M relativement à ces nouveaux axes étant x" — x\ y1' — y\ z" •— z\ on aura en appliquant la formule (21)

P = [<y—tfi COS f— [z" — z')C0sf]2 + [(z" — 2')C0Sa — (^ — ^cOSy]

+ [(#" — X') COS p — (y* — y') COS a]2.

Si l'on remplace enfin cos a, cos p, cos y par leurs valeurs, on arrive à la formule

Remarque. En posant comme précédemment (éq. 8).

p — bz' — cy' , q = ex' — az' , r = ay' — bx'

de telle façon que les projections de la droite donnée sur les plans coordonnés aient pour équations

cy — bz-\-p = o , az — cx-\-q = o , bx — ay-\-r = o,

l'expression de l2 devient

(cy» __ bz" + p)2 + (az" — ex" + q)2 + {bx" — ay" + r)2

Les trois quantités élevées au carré dans le numérateur sont ce que deviennent les premiers membres des équations des trois projections de la droite quand on y remplace les coordonnées courantes par les coordonnées x'\ y", z" du point M.