SURFACES DE REVOLUTION

468. On appelle surface de révolution une surface engendrée par la rotation d'une ligne autour d'un axe fixe auquel elle est invariablement liée. Chaque point M de la génératrice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à Taxe et qui a pour centre le pied P de la perpendiculaire abaissée du point M sur Taxe (flg. 285). Les cercles décrits par les différents points de la génératrice ont été nommés les parallèles de la surface. Les sections faites par des plans qui passent par

GEiNERATION DES SURFACES.

Taxe sont égales entre elles; ce sont les méridiens de la surface. Ordinairement on choisit pour génératrice de la surface une courbe méridienne.

On peut aussi concevoir une surface de révolution comme engendrée par le mouvement d'un cercle, de rayon variable, dont le centre parcourt une ligne droite, dont le plan reste perpendiculaire à cette droite, et qui rencontre la génératrice Fig. m. donnée.

Supposons d'abord que l'on prenne Taxe de rotation pour axe des z, les coordonnées étant rectangulaires ; un parallèle de la surface sera représenté par des équations de la forme

z2 + ?/2 = a2 , z = $; en exprimant que ce cercle rencontre la génératrice donnée, on obtiendra une équation de condition cp (a, p) = o entre les deux paramètres variables a et p. Si l'on élimine a et p entre cette équation et les deux équations du parallèle, on aura l'équation

de la surface de révolution.

4G9. Cherchons, par exemple, l'équation de la surface engendrée par une droite AB, tournant autour d'un axe OZ (fig. 28G). Prenons l'axe de rotation pour axe des z, la perpendiculaire commune entre l'axe et la droite AB dans une de ses positions pour axe des y, et une perpendiculaire au plan YOZ pour axe des x. La droite AB, dans cette position particulière, aura pour équations

y = a , œ = ms, a étant la plus courte distance OA, m la tangente trigonométrique de l'angle ZOB' que fait l'axe OZ avec la droite OB' parallèle à AB. Pour que le parallèle (x2 -}- y2 = a2, z = p) rencontre la droite AB, il

faut que l'équation de condition a2 -f m2p2 = a2, que Ton obtient en éliminant x, y, z entre les équations de la droite et celles du cercle, soit vérifiée ; l'élimination des deux paramètres variables a et p entre cette équation de condition et celles du cercle, donne l'équation de la surface de révolution

Si l'on fait y = o dans cette équation, on obtient la trace de la surface sur le plan XOZ; c'est une hyperbole œ2 — m2z2 = a2, ayant son axe transverse OD dirigé suivant OX, et pour asymptotes les droites OB' et OC également inclinées de part et d'autre sur OZ. On peut considérer la surface comme engendrée par cette hyperbole méridienne tournant autour de son axe imaginaire. C'est pourquoi on lui a donné le nom à'hyperboloîde de révolution à une nappe.

L'équation précédente ne renfermant le coefficient angulaire m qu'au carré, il est clair que la même surface sera engendrée par les deux droites AB et AC, toutes deux perpendiculaires à OA, et également inclinées de part et d'autre sur la droite ÀZ' parallèle à OZ.

470. Considérons en particulier le cas où la génératrice est la courbe méridienne; cette courbe, que Ton peut supposer placée dans le plan XOZ, est représentée par les équations y = o, <p(#, z) = o. Si Ton élimine x, y, z entre ces deux équations et celles du parallèle x2-\-y2 = a2, z = $, on obtient l'équation de condition cp (a, p) = o. L'équation de la surface de révolution est donc

(7) ?(v/tf'+y2,*)=o.

On l'obtient en remplaçant x par \/ x2 -j-?/2 dans l'équation du méridien.

Par exemple, si la courbe méridienne est l'hyperbole x2 — m2z2 = a2y l'hyperboloïde de révolution h une nappe aura pour équation x2 + y2 — m2z2 = a2.

Comme second exemple, considérons le tore, c'est-à-dire la surface engendrée par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan et ne passant pas par le centre. Si l'on prend pour axe des z l'axe de révolution, et pour axe des x une perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur l'axe, l'équation du cercle dans le planai étant (x — a)2 + z2 = r2, celle de la surface sera

{\/x2T~y^ — af + z2 = r*. 471. Supposons maintenant que l'axe de rotation OL (flg. 286), passant encore par l'origine, ait une direction quelconque dans l'espace.

abc

Soient - = |=- les équations de cette droite. Tout para]

lèle de la surface sera donné par l'intersection d'une sphère décrite de l'origine comme centre et d'un plan perpendiculaire à l'axe; ce cercle sera donc représenté par les deux équations x2jry2jrZ2 = OL2 ^ oa? + iy + c«=p.

Fig. 287. En exprimant que le parallèle rencontre

la génératrice donnée, on aura une équation de condition <p (a, p) = o entre les deux paramètres variables a et p. L'élimination de ces deux paramètres entre l'équation de condition et les deux équations du cercle conduira à l'équation de la surface de révolution

(8) cp (yV+^+z» , ax + by + cz) — o.

C'est une équation entre le polynôme du second degré

x*-\-y2 |^2e-(- un p0ijnôme du premier degré.

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une surface de révolution autour d'une droite passant par l'origine. Considérons, en effet, la droite OL qui a pour équations

oc u z

- = y = -, et posons

abc x

x2 -{- y2 -{- z2 = a2 , ax -f- by -\- cz = p ; l'équation proposée (8) devient cp (a, p) = o. A tout système de valeurs réelles de a et de p vérifiant cette équation correspond un cercle donné par l'intersection d'une sphère ayant l'origine pour centre, et d'un plan perpendiculaire à la droite OL; le centre du cercle sera situé sur la droite OL, et le lieu des cercles formera une surface de révolution autour de cette droite.

Supposons enfin que l'axe de rotation ne passe pas par l'origine; prenons un point fixe (x0, yQy z0) sur cet axe dont les équations seront

x — x, = y — Vo z — y

abc

Tout parallèle de la surface sera donné par l'intersection d'une

554 LIVRE V CHAPITRE Iv.

sphère {x —xoy -j-{y — yQ)2 -\- {z—zQ)2 = *2 , ayant son centre

au point fixe, et d'un plan ax-\- by-\-cz=.$ perpendiculaire à

Taxe ; l'équation de la surface de révolution sera donc de la

forme

(9) v{\/{x-x,)* + (y — ytf + [z — Zi)\ ax + by + cz) = o.

Lorsque la surface de révolution est du second degré, A. B, G désignant trois constantes, son équation est 10) (a?— xQ)*+(y— yQ)3 + {z— ztf+A(ax+by+cz)*+B{ax+by-hcz) + C*zQ

TANGENTE

472. Les trois coordonnées x, y, z d'un point quelconque M d'une courbe peuvent être considérées comme des fonctions d'une même variable auxiliaire t, prise pour variable indépendante. Appelons A#, Ay, Az les variations de ces coordonnées, quand on donne à la variable £un accroissement très-petit A£, c'est-à-dire quand on passe du point M à un point voisin Mi sur la courbe; la sécante MMj est représentée par les équations X— x Y— y Z—z A# Ay Az

"AT ~ÂF AT

Lorsqu'on fait tendre A£ vers zéro, les rapports — , —, —

ont respectivement pour limites les dérivées x', y', z' des fonctions x, y, z, par rapport à t. Il en résulte que la tangente au point M est représentée par les équations X— a Y— y Z — z x' ~ y' ~ z' Supposons que t augmentant, c'est-à-dire M étant positif, le point M se déplace de M en Mt : menons à la courbe la tangente MT dans le sens de ce déplacement, c'est-à-dire dans le sens dans lequel se meut M quand t croît, et appelons a, p, y les cosinus directeurs de la demi-droite MT par rapport aux axes coordonnés supposés rectangulaires. On a

'\/^2+y,2+^ v^/2+2//2+*/2' Vrf*+y,%+*'*

le radical étant pris positivement. En effet, le cosinus de l'angle du segment MM4 avec Ox est

àx ^

cos (MM i , x) = ttttt- = ,

Divisant les deux termes du rapport par A£ et faisant tendre A£ vers zéro, on trouve, comme limite du second membre, la valeur qui a été écrite plus haut pour a et qui est bien la valeur demandée, car MT est la limite de la direction MM,.

473. Soient MT et MATt les tangentes à une courbe gauche en deux t points voisins Met M4 (fig. 288); par

::;^, le point M menons une droite MH

/* ^^^^îi parallèle à MtTi ; quand le point M,

H se meut sur la courbe, la droite M H Fl£- 28S- décrit une surface conique; si le

point M4 se rapproche indéfiniment du point M, le plan TMH tend vers une position limite, qui est le plan tangent à la surface conique le long de l'arête MT; cette position limite du plan TMH s'appelle le plan oscillateur à la courbe au point M.

Le plan TMH, passant par le point M, a une équation de la forme

Pour qu'il contienne les deux droites MT, MH, on doit avoir les relations

{2) Axf + By' + Gz' = o.

A(x' + ax') + B(y' + Ay') + C(z' + as') = 0;

la dernière peut être remplacée par

At At At

et se réduit à

Aaf.+ By" + Gzff = o,

quand At tend vers zéro, x", y", z" étant les dérivées secondes des fonctions x} y, z par rapport à t. Des relations (2) et (5) on déduit

x'y' — yx

y'z — z'y' zx —x:

et le plan oscillateur a pour équation

Lorsque la courbe est plane, le plan osculateur en chaque point est le plan même de la courbe. (Voyez aux nos 482 et 483 pour la Ion-