Considérons la surface représentée par l'équation

prenons sur la surface un point M ayant pour coordonnées x, y, z, et par ce point traçons sur la surface une courbe quelconque MA (fi g. 289); quand un point mobile décrit cette courbe, les deux coordonnées x et y sont des fonctions de z, assujetties à vérifier la relation (5) ; leurs dérivées x' et ij vérifient la relation

Fig. 289.

(6) a7<+y7fv + r. = o..

D'après ce que nous avons dit, la tangente à la courbe MA est représentée par les équations

Quand la courbe MA tracée sur la surface par le point M change, les deux fonctions x et y changent, ainsi que leurs dérivées. On obtiendra le lieu des tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface, en éliminant les deux paramètres variables x' et y' entre les équations (7) de la

tangente et l'équation de condition (6). Ce lieu a pour équation

(8) (X-x)f.r+(Y-y)fy-\-(Z-z)rz = o.

C'est un plan qu'on appelle le plan tangent à la surface au point M.

La normale à la surface au point M est la perpendiculaire menée par le point m au plan tangent à la surface en ce point; quand les axes sont rectangulaires, les équations de la normale sont

/ x fy fz

Nous avons démontré qu'en général les tangentes aux diverses courbes tracées sur une surface par un point M sont dans un même plan; il y a exception lorsque les trois dérivées partielles f'x, fyr> fz sont nulles au point M; car alors l'équation de condition (6) devient une identité, et, pour trouver le lieu des tangentes, il faut recourir à un calcul plus compliqué. Cette circonstance se présente au sommet d'un cône; les tangentes aux diverses courbes tracées sur la surface par ce point sont les arêtes du cône, et le lieu des tangentes est le cône lui-même. Lorsqu'une surface a un point singulier de cette sorte, le lieu des tangentes en ce point, au lieu d'être un plan, est un cône.