Supposons que la surface soit algébrique et du degré
m. Si l'on remplace x, y, z par-, -, - et si Ton multiplie tous
les termes par tm, le premier membre devient une fonction homogène et du degré m des quatre variables a?, y, z, t} fonction que nous représenterons par f(x, y, z, t). D'après la propriété des fonctions homogènes, on a
tfr + yfv +zf* + tft = mf{x, y, z, t) = o,
et l'équation (8) se met sous la forme
<io) Xfx + Yfi + Zf; + Tft = o,
où Ton fera ensuite * = T=:i; les coordonnées du point de
contact n'y entrent qu'au degré m— 1.
En appliquant cette formule aux surfaces du second degré, dont l'équation générale est
(i i) Ax* +Ay + AV + iByz + zB'zx + 2B"^
+ 2O + aC'y + aCTz + F = 0,
on obtient pour l'équation du plan tangent,
(12) (A* + B"y + B'z + C) X +(B"* + My + B* + C) Y + (B^ + By + A^ + C//)Z + (C^ + C,y + C^ + F) = o.
Comme on peut la mettre sous la forme
(i3) (AX + B"Y + B'Z + G) x + (B"X + AT + BZ + GO y + (B/X + BY + A,,Z + C,/)^ + (GX + G/Y + C,yZ + F) = o.
on remarque qu'elle ne change pas, quand on permute les lettres x et X, y et Y, z et Z.
476. Proposons-nous maintenant de mener des plans tangents à une surface du second degré par un point donné P, non situé sur la surface et ayant pour coordonnées xif yl9 zu Prenons pour inconnues les coordonnées x, y, z de l'un des points de contact M ; ces coordonnées doivent vérifier l'équation (11); d'autre part, le plan tangent en M devant passer par le point P, les coordonnées de ce point vérifient l'équation (12) ou l'équation (i3), et l'on a
(14) (A* 4 + B"*/t + B'Zi +C)x + (B^t + My, + B*t + C!)y + (B'x, + By4 + M'z, + C") z + (Gx, + C'y, + C% + F) = o.
Le lieu du point de contact est la courbe plane suivant laquelle le plan (14) coupe la surface du second degré. Considérons le cône qui a pour sommet le point P et pour directrice cette courbe plane; par un point quelconque M de cette ligne passe une arête du cône, laquelle est située dans le plan tangent en M à la surface; ce plan, contenant aussi la tangente en M à la courbe directrice, n'est autre chose que le plan tangent au cône suivant l'arête PM; le cône est donc tangent à la surface du second degré en tous les points de la courbe directrice.
477. Nous terminerons par la démonstration de quelques propriétés des surfaces coniques et des surfaces réglées. Soit S le sommet d'une surface conique G, SA l'une quelconque des arêtes de la surface; menons le plan tangent au cône suivant cette arête et par le sommet une perpendiculaire SA à ce plan. Lorsque la droite SA décrit la surface G, la droite SA' décrit une seconde surface conique G'. Considérons deux arêtes SA, SB de la première surface et les arêtes correspondantes SA', SB' de la seconde; la droite d'intersection SD des plans tangents suivant SA et SB est perpendiculaire au plan B'SA. La droite SA restant iixe, si l'arête SB se rapproche indéfiniment de SA, la droite SD tend vers la position limite SA, et, en même temps, le plan B'SA devient tangent au second cône suivant l'arête SA; on en conclut que l'arête SA du premier cône est perpendiculaire au plan tangent au second cône suivant Farête SA. A cause de cette propriété, on dit que les deux cônes sont réciproques ou supplémentaires.
Lorsque l'origine des coordonnées est placée au sommet, une surface conique algébrique est représentée par une équation
(i) f{x,y,z) = an
dont le premier membre est une fon ition entière et homogène de œ, y, z. Si les axes sont rectangulaires, r me normale menée par le sommet ayant pour équations
(a) fT = F = f>,
lx ly lz on obtiendra l'équation du cône supplémentaire en éliminant les rapports -, -, entre l'équation (2) "et l'équation (1), à laquelle on peut
substituer l'équation xX + yY + z! = o. Un cône du second degré (5) Aoî2 + A'y* + A"s2 + 2B2/Z + zB'zœ + zW'xy = o
admet comme supplémentaire un cône du second degré (4) (A'A"-B2)X2 + (A"A-B'2) Y2 + (AA'-B"2)Z2 + 2(B'B" — ÀB)YZ + 2 (B"B — A'B')ZX + 2 (BB' — AT) XY = o. Le calcul qu'il faut faire, pour passer de l'équation (3) à l'équation (4). est identique à celui que l'on fait en géométrie plane pour passer de l'équation d'une conique en coordonnées rectilignes à son équation en coordonnées tangentielles.
478. Si l'on rapporte le cône à un autre système d'axes rectangulaires, menés par le sommet, le premier membre de l'équation (3), qui est un polynôme homogène et du second degré en #, y, z, se transforme en un polynôme homogène et du second degré
Atx'2 4- A[y'2 + A'X2 + aBiS/'a' + aB^'œ' + aB^V
en x', y'y %r, et, d'après les relations (7) et (8) du n° 4^5, on a
De cette relation on déduit aisément la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de l'équation (3) pour que l'on puisse placer sur le cône les arêtes d'un angle trièdre trirectangle.
Supposons en effet la coïncidence établie ; si l'on prend les trois arêtes pour nouveaux axes des coordonnées, l'équation du cône devant se réduire à la forme
2B,2/V 4- 2B\zrxr + 2BÏ#y = o,
on aura AA = A't = Aï = o et par suite
Réciproquement, quand cette condition est remplie, on peut placer l'angle trièdre trirectangle sur le cône dune infinité de manières. Prenons en effet une arête quelconque du cône pour axe des zr et dans le plan perpendiculaire à cette arête deux droites rectangulaires pour axes des x' et des yr; l'équation du cône étant de la forme
A{xf2 -f A'y2 -f- 2BÂy'*' + 2B[zrxr + 2B"ix,yr = o. on a Aï = 0 et par suite, en vertu de la relation (5), Ai + A', = o, ce qui signifie que le plan des x'yr coupe le cône suivant deux arêtes rectangulaires. On dit alors que le cène est capable d\m angle trièdre trirectangle inscrit.
Lorsqu'un angle trièdre trirectangle a ses trois faces tangentes au cône (3), ses arêtes sont situées sur le cône supplémentaire (4). La condition pour que ceci ait lieu est
A'A" + A"A + AA' — B2 — B'2 — B"2 = o.
Quand cette condition est remplie, il existe une infinité d'angles trièdres trirectangles circonscrits au cône et Ton dit que le cône est capable d'un angle trièdre trirectangle circonscrit.
Problème. — Étant donné un cône du second degré représenté en coordonnées rectangulaires par l'équation
9 [x, y, z) = Ax2 + Ay -f- A"*2 + 2Byz 4- ïB'xz + zB"xy = o,
exprimer que le plan
(P) ux -\-vy+ ivz = o
coupe ce cône suivant deux génératrices rectangulaires.
(G) 9 {x, y,z)—\ [ux 4- vy 4- wz) [u'x 4- v'y 4- w'%) = o
représente, quels que soient l, u', v', wr, un cône du second degré passant par les deux génératrices G et G' suivant lesquelles le plan P
coupe le cône donné. Déterminons X de façon que le cône G contienne
l'axe du plan P qui a pour équations - = - = — ; nous aurons
? (u, v,w)~^ (u2 -+- v* + w2) [uur + Vu' + ww') = o.
La constante X étant ainsi déterminée, le cône auxiliaire G est capable d'un trièdre trirectangle inscrit, formé par les génératrices G et G' et l'axe du plan P. On a donc, en écrivant, que, dans l'équation (G), la somme des coefficients des carrés x2,y2, z2, est nulle
A + A' + A." — * (un! + vvr + ww') = o, d*où, en remplaçant X [uv! + vvr + ivw') par sa valeur ? ^ ' ■ — '■— ,
9 (u, v, w) — (A -f A' + A") (w2 + v2 + 4 = 0 Telle est la condition demandée.
479. Si d'un point fixe O on même des parallèles Og aux diverses positions de la génératrice G d'une surface réglée, on forme un cône que l'on appelle cône directeur de la surface réglée et qui joue un rôle important dans l'étude de la surface. Nous avons dit (n° 46o) que les surfaces réglées se divisent en deux grandes classes, celle des surfaces gauches et celle des surfaces développables. Étant données les équations de la génératrice
dans lesquelles x, y, z, a, b, c sont des fonctions d'une même variable t, cherchons d'abord la condition pour que la surface soit développable, c'est-à-dire pour que la génératrice, dans toutes ses positions, soit tangente à une courbe G. En appelant p la valeur commune des rapports (8) on a, pour les coordonnées d'un point quelconque de la génératrice
X=x + aç> , Y — y + bç , Z=z + cç> ;
appelons, en particulier, ç0 la valeur qu'il faut donner à p pour obtenir le point de contact M de la droite avec la courbe et soient #o> ?7o> ^o les coordonnées d'e ce point; cette valeur p0 sera une fonction de t et l'on aura
œ0 = x + ap0 , y0 = y + bp0 , z0 — % + cç>0. En désignant par des accents les dérivées de toutes ces fonctions de t, on a
(io) ccfQ = x' + a'9o + a9'Q , y\ = y' + &'Po + bp0 > *o = *' + c'?o + cPo-
Puisque la tangente à la courbe G, lieu du point M, coïncide avec
la génératrice G, les quantités x'Q,yQ,zQ doivent être proportionnelles
GÉOïtf. ANALYT. 33
h a, b, c. On doit donc avoir, en désignant par X un coefficient de proportionnalité
(ii) #' + a'po + a (Pi — >) = o , y' + &'p0 + Mp'o — *) = ° »
*' + c'po + c (Pi — >) = o.
Pour que la surface soit développable il faut que ces trois équations du premier degré en p0 et p0' — X soient compatibles, c'est-à-dire que l'on ait
xr y' %'
(12J ar br cf
abc
Réciproquement, si cette condition est remplie, le point M défini par les équations (9), dans lesquelles p0 a la valeur tirée de (n), décrit une courbe G dont la tangente en M coïncide avec la génératrice G. La surface est donc développable, et la courbe G en est l'arête de rebroussement.
480. Considérons maintenant une surface réglée quelconque. Soient G et d deux positions voisines de la génératrice, correspondant aux valeurs t et t + At de la variable, PPt la perpendiculaire commune à ces deux droites (fîg. 290). Si l'on désigne par a + Aa, b -f Ab , c + Ac , x -+- Ax , y + Ay , % -f Fîg 290. £3 ies valeurs des fonctions a, b, c, x, y, z qui cor-
respondent à la valeur t + At de la variable, les équations des génératrices G et Gi seront (G) X = x + a? , Y = y + b? , Z = * + cp,
(G, X = x + Ax -f (a + Aa) 9i
La valeur de p qui correspond au point P situé sur la génératrice G est donnée par la formule
Ax Ay A%
a + Aa b + Ab c + Ac
bAc — cAb cAa — clac aAb — bAci
• "(bAc — CAb)2 -f- (cAa — aAc)2 -fc- (aAb — bAa)* comme on le voit en suivant la méthode du n° 457. En divisant le numérateur et le dénominateur de p par a^2 et faisant tendre At vers zéro, on trouve que p tend vers une limite p0 donnée par la formule
xf y' ï
abc
