ABC

Po:

dans laquelle on a posé, pour abréger

(i4) A = bc' — cb' , B — C(ï— ac' , G = ab' — 6a' ;

on en conclut que le point P tend vers une position limite I sur la génératrice G.

Lorsque la surface est développable, le point I est le point où la génératrice G touche l'arête de rebroussement. Lorsque la surface est gauche, le point 1 Rappelle point central sur la génératrice G, et le lieu du point I ligne de striction de la surface. Quand le cône directeur de la surface se réduit à un plan, on voit facilement que la projection orthogonale de la ligne de striction sur ce plan est l'enveloppe des projections des diverses positions de la génératrice.

Si Ton désigne par r la plus courte distance PPt, de la formule (24) du n° 457 on déduit

\AtJ ^2 + B2 + G2

Lorsque la surface est développable, cette limite est nulle, quelle que soit la génératrice; mais, dans le cas contraire, elle ne s'annule que pour quelques positions particulières de la génératrice. En appelant 9 l'angle des deux génératrices G et G,, on a

— \J{^c—c^b)2 + (cAg—aàc)* + (aAb — bÂâ)2

y/a2 + l>2 + c2 \l{a -f Aa)2 + [b + Ab)2 + (c +Ac)* d'où

, M r © r sin9 v/A2 + B2 + G2

(16 hm ~ = hm -rf = v 9 , . 9 , , ■

K J ±t At a2 + b1 + c2

et, par suite,

^ r (tf + b2 + c2) (Aa/ + W + C*') ,.

Lorsque la surface est gauche, le rapport - tend vers une limite k

différente de zéro, excepté pour certaines génératrices particulières.

480 bis. Par le point P menons une parallèle PH à la génératrice G ; un plan mené par un point quelconque M de la génératrice G perpendiculairement à cette droite coupe les droites PH et GL aux points Q et M^ Lorsque Gj se rapproche de G, le plan GPH tend vers un plan limite T parallèle au plan tangent au cône directeur suivant l'arête Og parallèle à G. Le plan GPPi perpendiculaire à GPH tend vers un plan limite Tt perpendiculaire à T et le plan PMMt tend vers le plan tangenten M à la surface réglée. Nous désignerons par 0 l'angle que fait ce plan tangent avec le plan fixe TV Le triangle QMMt donne

cotÛMM - MQ MPtangy tangcpcp. cotUMM*--^- PP1 ~MF 9 r'

l'angle QMM4 ayant pour limite le complément de 0, on déduit de la relation précédente

(18) tang6 = |-,

en désignant par p la longueur IM.

Lorsque la surface est développable, k étant nul, l'angle 9 est droit, et, par conséquent, le plan tangent en un point quelconque M de la génératrice G coïncide avec le plan T, qui n'est autre chose que le plan osculateur à l'arête de rebroussement (n° 473). Lorsque la surface est gauche, le plan T\ est le plan tangent au point central. Si le point M se meut sur la génératrice G, p variant de, — coà -f- oo, 6 varie de

à -}- et le plan tansrent tourne autour de la génératrice, à me-

sure que le point M se déplace. Tout plan mené par cette droite est tangent en un point M et en un seul. Le nombre k est le paramètre de rotation du plan tangent relatif à la génératrice G.

Considérons une seconde surface réglée ayant avec la première une génératrice commune G. Soient p0 la distance des points centraux I et T sur cette génératrice, 60 et 6 les angles que font avec le plan Ti les plans tangents à la seconde surface aux points I' et M; on aura

(icj) tang(Q — 60) =

ki désignant le paramètre de rotation du plan tangent pour la seconde surface. On obtiendra les points de la génératrice G, où les deux surfaces ont le même plan tangent, en résolvant les deux équations simultanées (18) et (19). L'élimination de 8 conduit à l'équation du second degré en p

(20) p2 tang e0 — (Po tang e0 + £4 — ft)p - k (p0 — k, tangV) = o.

On en conclut que les deux surfaces ont le même plan tangent en deuxpoints delà génératrice commune. Pour que les deux surfaces aient le même plan tangent en trois points de la génératrice, il faut que l'équation (20) devienne une identité; alors les deux surfaces ont le même plan tangent en tous les points de la génératrice; elles se raccordent suivant cette droite. Pour qu'il y ait raccordement, il faut que les points centraux coïncident, ainsi que les plans tangents en ce point? et en outre que les deux paramètres k et kx soient égaux.

Lorsque les surfaces réglées sont des surfaces à plan directeur et que le plan directeur est le même pour les deux surfaces, l'angle 90 est nul et l'équation (20) s'abaisse au premier degré ; il n'existe sur la génératrice commune qu'un point où les deux surfaces ont le même plan tangent. Pour que les deux surfaces se raccordent, il faut que les pointa centraux coïncident et que les deux paramètres k et kL soient égau&

GÉiNÉRATlON DES SURFACES. 565

481 . La définition de Yhomothétie et de la similitude pour les figures à trois dimensions est la même que pour les figures à deux dimensions (liv. IV, chap. v). En Géométrie plane, si Ton fait abstraction de la position des systèmes, l'homothétie inverse ne donne pas d'autres figures que l'homothétie directe; il n'en est plus de même pour les figures dans l'espace. Considérons un premier système de points A, B, C..., et, après avoir choisi arbitrairement un centre de similitude, construisons un système A', B', (7,..., homothétique direct, et un système A", B';, C",.-- homothétique inverse, avec le même rapport de similitude k\ ces deux systèmes sont symétriques l'un de l'autre par rapport au centre de similitude. Il résulte de là que les systèmes homothétiques inverses du système donné sont les symétriques des s}rstèmes homothétiques directs.

Une figure est semblable à une figure donnée lorsque, par un déplacement convenable, elle peut coïncider avec l'une des figures directement homothétiques à la figure donnée.

On sait que Ton obtient toutes les surfaces semblables à une surface donnée, en prenant arbitrairement un centre de similitude, et en construisant avec ce centre les diverses surfaces homothétiques directes qui correspondent aux valeurs de k comprises entre o et oo,

Exemple I. La surface donnée est une sphère. Prenons le centre de la sphère O pour centre de similitude ; le rayon OA étant constant, le rayon OA' sera également constant : une surface semblable à une sphère est une autre sphère qui peut avoir un rayon quelconque.

Exemple II. La surface donnée est un cône. Prenons le sommet pour centre de similitude; deux points homologues seront situés sur la même génératrice du cône. La seule figure semblable à un cône est ce •cône lui-même.

Exemple III. Le surface est un cylindre. Prenons un point arbitraire O pour centre de similitude, et traçons sur le cylindre une courbe arbitraire G que nous prendrons pour directrice du cylindre. A la courbe C correspond une courbe homothétique G' et à toute génératrice du premier cylindre une droite parallèle passant par le point

homologue du point où la courbe C est rencontrée par la première génératrice; ainsi, deux cylindres sont homothétiques, lorsqu'ils ont pour directrices deux courbes homothétiques et leurs génératrices parallèles.

Considérons deux cylindres homothétiques, ayant le point 0 pour centre de similitude; si Ton mène par ce point une parallèle 00' aux génératrices des deux surfaces, tout point de cette droite est aussi un centre de similitude des deux surfaces. Il en résulte que les sections de deux cylindres homothétiques par le même plan sont des courbes homothétiques, ayant pour centre de similitude le point où le plan coupe la droite 00'. Comme les sections d'un cylindre par des plans parallèles sont égales, les sections de deux cylindres homothétiques par des plans parallèles sont homothétiques.

482. Les sections d'une surface du second degré par des plans parallèles sont des courbes homothétiques. L'équation générale des surfaces du second degré est

(i) kx* + k'y% + AV + iByz + iB'zx -f i&'xy

+ 2Ca? + 2C/y + aGff* + F=o; on obtient la projection sur le plan XOY de l'intersection de cette surface et du plan (i) ax-\-by -\-cz = l,

en éliminant la variable z entre les équations (i) et (2). Or, dans l'équation ainsi obtenue, les coefficients des termes du second degré sont indépendants de l; on en conclut que, lorsque / varie, a, b, c restant fixes, c'est-à-dire lorsque le plan se déplace parallèlement à lui-même, les projections sont homothétiques; les cylindres projetants, ayant pour directrices des courbes homothétiques, sont coupés par deux plans parallèles suivant des courbes homothétiques. Quand ces courbes sont des hyperboles, Tune peut être homothétique à la conjuguée de l'autre (n° 394).