COURBES

483. Longueur d'un arc de courbe. Soit dans l'espace une courbe plane ou gauche, telle que les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe s'expriment en fonction d'un paramètre t par les trois équations

Supposons que t variant de a à b les fonctions f, 9, <j> soient continues et admettent des dérivés, f (t), ?' (t), 4/ (t) également continues : enfin, supposons que t variant de a à b (a < b) le point M (%, y, z) décrive un arc de courbe AB en se déplaçant toujours dans le môme sens.

Prenons alors une série de valeurs de t comprises dans l'intervalle a, b et rangées par ordre de grandeurs croissantes

fi, t%. . . ï»ij à ces valeurs de t correspondent sur la courbe des points M4 M2. . . Mn-i- Nous allons démontrer que le contour polygonal AM^... Mn iB tend vers une limite quand, le nombre n augmentant indéfiniment, toutes les différences

t{ — ci, t% — *i, Î3 — t%. . ., u — tn — 1

tendent vers zéro. Cette limite est ce que l'on appelle la longueur de l'arc AB. Pour démontrer l'existence de cette limite, remarquons que le côté M/cMa+i a pour longueur

MAMA+i = \/[f(th+i) - f(tk)f + [9 (fo+i) - 9 («]2+ [+ (fo+i) - * WT Or, les rapports

ftfa+Q-fl^ ?(*ft+i) ~ 9(^ ctc> tk+l " tk tk+l — tk

tendent vers les dérivées f'{tk), <p'(fo) . . . quand fc+i — tk tend vers zéro et, par conséquent, le rapport k ^ tend vers la limite

Nous pouvons donc écrire

MftMft+i = (tk+i - tk)[\/f'\h) + <?"2(tk) + V2(tk) + e*] tk étant une quantité qui tend vers zéro en même temps que tk+i tkt Telle est l'expression de l'un des côtés du polygone inscrit dans la courbe. Pour avoir le périmètre P de ce polygone, faisons la somme des côtés MA+i, en donnant successivement à k les valeurs 0, 1, 2. . . n— 1 et remarquant que t0 = «> et tn = à. Nous aurons

P = 2(^+1 - tk)slf'\tk) + ç/s(f*) + V2(h) + 2(^+i - h)ek.

Quand le nombre des points de division ti9. . .tn-i augmente indéfiniment, chaque différence tk+i — tk tendant vers zéro, la première somme tend vers l'intégrale définie

Quant à la deuxième, elle tend vers zéro : en effet, en appelant s un nombre positif égal en valeur absolue à celle des quantités sk qui a la plus grande valeur absolue, on voit que la valeur absolue de 2(fe+i — tk)zk est moindre que e 2(£&+1 — fo), c'est-à-dire moindre que z(b—a), car

2(4+i — h) = ti — a + U — t\ + £3 — U + . • . + à — £n-i = b— a; d'après les hypothèses faites sur la nature des fonctions f,y,ty, s tend vers zéro, quand toutes les différences fo+i — tu tendent vers zéro et la somme 2(fo j i — tk)ek tend bien vers zéro. Le périmètre P tend donc vers l'intégrale définie (1) : cette limite de P est la longueur de l'arc de courbe considéré.

Si au lieu de calculer l'arc AB tout entier, on avait calculé la longueur s d'un arc A M, M correspondant à une valeur de t comprise entre a et b, on aurait trouvé de même

* = f)fr*(t) + *'*(t)+V*(Odt:

d'où, en différenciant et remarquant que

dx = f(t)dt, dy = y'(t)dt, dz = tf{t)dt

ds = \\dx2 + dy2 + dz2

Celte formule est aisée à retenir, car elle exprime que l'élément infiniment petit de courbe joignant les points (x} y, z) et (x -f dx, y -f- dy, z -f dz) est égal à la corde joignant ces deux poiuts.

Exemple : Soit la chaînette construite au n° 348.

Cette courbe étant plane, ona^ = o, dz — o, puis

dy — y'dx ~-le~a — e Adx.

Donc

ds = \Zi-\-y'2 dx— -( ea+e a\dx

comme on le vérifie en formant 1 -f y'2 et remarquant que cette expression est un carré parfait. La longueur de l'arc s depuis le point le plus bas de la courbe (voyez fig. 222, n° 348) qui correspond à x = 0 jusqu'en un point M d'abeisse x est donc

cette formule peut s'écrire

s = ay' = a tang «

en appelant a l'angle de la tangente en M avec Ox; s est donc un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'autre côté est a et l'angle opposé a.

Cosinus directeurs de la tangente. — - Nous avons indiqué dans le n° 472 les expressions des cosinus directeurs a, (3, y de la tangente MT menée à la courbe dans le sens des t croissants : comme l'arc s est compté positivement dans ce même sens, les valeurs a, p, y sont les cosinus directeurs de la tangente MT menée à la courbe dans le sens des arcs s croissants : leurs expressions peuvent s'écrire sous la forme simple suivante :

dx __ dij dz

car dx = x'dt, ds = \/x'* -{- y'2 -f £'? dt, etc. . .

484. Courbure. Pour mesurer la courbure d'une courbe, on la compare à un cercle. Imaginons un cercle de rayon R sur lequel on a choisi un sens positif pour les arcs et le même sens positif pour les tangentes MT. Prenons un arc MMj de longueur As dans ce sens positif et appelons a<j la valeur absolue de l'angle dont tourne la tangente MT au cercle Fig. 290 bis. quand le point de contact se déplace de M en

Mi- D'après les propriétés élémentaires du cercle, on a

As A5=RA<j, R=t~.

On a ainsi une expression du rayon : l'inverse — s'appelle la courbure du cercle

Passons maintenant à une courbe quelconque. — Pour traiter d'abord un cas simple, prenons une courbe plane sur laquelle on choisit un sens positif pour les arcs et le même sens MT pour les tangentes (fig. 290 bis). Soit encore AS un are MMj compté dans le sens positif, et Ag la valeur absolue de l'angle dont tourne la tangente à îa courbe quand le point de contact passe de M en Mt; on appelle, par analogie avec le cas du cercle, courbure moyenne de l'arc

MMi le rapport ~, et courbure au point M la limite j- vers laquelle

tend ce rapport quand as tend vers zéro. L'inverse de la courbure au

ds point M, p = -T- s'appelle rayon de courbure au point M.

Comme Aœ, As sont positifs, les éléments que nous venons de définir sont tous positifs.

Calculons l'expression de la courbure. Soit a l'angle que fait la tangente MT avec Ox, on a

dij , dij

Quand on passe de M en Mly l'angle a varie de Aa et la valeur absolue Ad de l'angle dont la tangente tourne est ± Aa où il faut prendre + ou __ suivant que Aa est positif ou négatif. La courbure moyenne de l'arc MMi est donc

Aa j