AS

le rayon de courbure p au point M est donné par

, darctang -~

i v~ — =:dz . dx,

? ~~ ds s/dx* + dy2

c'est-à-dire en effectuant la différenciation indiquée

i ^ dx d2y— dy d*x

P — (dx* + dy%

En particulier, si x est pris comme variable indépendante, d2x = o, on a

en désignant les dérivées dey par rapport à x, par y' et y". Le signe doit être choisi dételle façon quep soit positif : il faut donc mettre + quand y" > o, c'est-à-dire quand la courbe au point considéré tourne sa concavité vers les y positifs, et — dans le cas contraire. En un point d'inflexion, p est infini.

Exemple. Rayon de courbure d'une conique. —Soit nia longueur de la normale à une courbe plane comprise entre le point M et l'axe Ox :

n —drzy sjv + y'*.

On peut écrire, dans le cas général,

Or, pour une conique rapportée à son axe focal et à la tangente au sommet (265)

y = \fzpx + qx*, y" = =^f-,

donc

9 ~~ pr

484 bis. Établissons maintenant les formules générales qui s'appliquent aux courbes gauches et aux courbes planes.

Soit une courbe gauche ou plane S sur laquelle on a choisi un sens positif pour les arcs et le même sens pour les tangentes MT. Considérons une sphère de centre 0 et de rayon i : par le centre 0, menons un rayon 0^ parallèle à MT et de même sens que MT : quand le point M décrit la courbeS dans le sens des arcs croissants, le point p Fig. 290 ter. décrit une courbe S dont nous appellerons

l'arc a. Soit M Mi = As un arc de la courbe S, {jljxi = Acr l'arc correspondant de S; on appelle courbure moyenne

de l'arc MM4 le rapport-? : la courbure — en M est la limite du rapport précédent quand Mi tend vers M.

i dct

p ds '

l'inverse p est le rayon de courbure.

Cette définition est bien d'accord avec celle que nous avons donnée plus haut pour les courbes planes; car, si la courbe S est plane, la courbe S Test aussi. Cette courbe est alors un cercle de rayon i et l'arc Acr mesure l'angle des tangentes MT et M/IV

Revenons au cas général; le point y. a pour coordonnées les cosinus directeurs de la tangente MT

, x dx a dy dz

donc l'arc de courbe lieu du point y. a pour différentielle

dG = sida.2 + dp8 -t- d^ et on a

l__dG= y^a2 + dp + dy* P ~~ ds ~ yjdx2 + dy2 + dz*'

Si l'on prend l'arc s comme variable indépendante, on a

P ds V \ds) ^{ds) + \ds) ""VWi UW ^\ds*J

Si la variable indépendante n'est pas spécifiée, ces formules permettent d'exprimer p en fonctions des différentielles premières et secondes des coordonnées x,y, z. Remarquons en effet que la relation

a2 + P2 + y2 = i et la relation qu'en en déduit par différentiation

adu -l- ?d$ + y^y = o permettent d'écrire

d<j» = (a2 + P2 + Y2) (<*<** + d^ + ^Y2) — (ady. + $d? + ydy)* = (YrfP — UlY + My — ?<*«)* + (p^a — ad$)2

■,i4y+«i<ïï+ <"{<%)'■

dx du dz Les quantités a, P, y étant égales à y-, -f^,-r, le premier terme de

la dernière expression est

dz* ( 4y\2 __ (dzd2y — dyd-zY

ds4 \ dz] ds*

On calcule de même les deux termes suivants et on trouve pour le carré de la courbure

i (dzdhj — dyd*zY + (dxd2z — dzd*x)* + (dyd*x — dxdhj)2 p2 """ {dx2 + dy2 + dz2)9

formule dans laquelle la variable indépendante n'est pas spécifiée. Normale principale.— Soit i*9 la tangente à la courbe sphérique 2 menée dans le sens dans lequel se déplace le point y. quand le point M décrit la courbe S dans le sens positif des arcs. Par M menons une droite MN parallèle à [x8 et dirigée dans le même sens que ^6 : cette droite s'appelle la normale principale; elle est normale à la courbe et située dans le plan osculateur. En effet, la droite (j.6 est perpendiculaire à la droite Opt, qui est parallèle à la tangente Mï et elle est située dans le plan tangent au cône lieu des droites 0[x le long de 0^, plan qui est parallèle au plan osculateur, d'après la définition même du plan osculateur. Le point G obtenu en prenant sur MN dans le sens MN une longueur MG = P s'appelle le centre de courbure de la courbe au point M. Soient a', p', T' les cosinus directeurs de la normale principale MN ou de sa parallèle {xô; en appliquant à la courbe 2 lieu du point a, p, y les formules qui donnent les cosinus directeurs de la tangente, on a

ou en remplaçant d<j par —

, du or d$ . dy

Les coordonnées ((■, y], ç,) du point G sont alors ç = x + pa = a + p2 ^, etc.

Exercice. Démontrer que le rayon de courbure p #s£ /a Zzmite vers laquelle tend le rayon d'un cercle passant par le point M et par deux points M4 et M2 de la courbe S infiniment voisins de Mt.

D'après une formule élémentaire de trigonométrie, le diamètre du cercle circonscrit au triangle MtMM2 est

x sin MiMMg

Donc, en appelante, y, z, les coordonnées de M4, #1, ^, zA et #2> 2/a? #2 celles de Mt et M2, on a

, \/{Xj — xjj 2 + . . . ^{x. — xf + ... y/(a?2 — a?)2 •

V[#i — #)(*s — *) — (*i— *) (2/a — */)? + • • • Les coordonnées x, y, z sont des fonctions données du paramètre t ; celles du point voisin. Mi s'obtiennent en faisant croître t de h; on a donc par la formule de Taylor

xr x" . . . désignant les dérivées de x: et deux formules analogues pour yl et z^

De même les cordonnées du point M2 s'obtiennent en faisant croître t de k

et deux formules analogues pour y% et #2. Substituant dans l'expression de aR, on voit que, au numérateur, dans le premier facteur \/(Xi — #2)2 + ... on peut mettre h — A: en facteur, et dans les deux autres respectivement h et k. De même au dénominateur on peut mettre en facteur (h — 1c) M, Supprimant ces facteurs, puis faisant tendre hetk vers zéro, on trouve comme limite de k la valeur

(gf* 4. y'2 + ^8)1

qui est bien le rayon de courbure trouvé plus haut.

On démontrera que le centre du cercle MiMMs tend vers le centre de courbure G précédemment défini.

EXERCICES

i° L'axe d'un cône de révolution passe à l'origine des coordonnées et fait avec les axes des angles a, p, y, l'angle du cône est 9; trouver l'équation de la surface. Comme application, trouver les conditions pour que l'équation homogène du second degré représente un cône de révolution.

2° Étant donné un ellipsoïde de révolution aplati (surface engendrée par une ellipse tournant autour de son petit axe), le cône, engendré par une. droite qui tourne autour du foyer de l'une des ellipses méridiennes en s'appuyant sur la section faite dans la surface par un plan passant par la directrice qui correspond à ce foyer, est un cône de révolution.

5° Étant donné un ellipsoïde de révolution allongé (surface engendrée par une ellipse tournant autour de son grand axe), le cône, qui a pour sommet l'un des deux foyers des sections méridiennes et pour base une section plane quelconque, est un cône de révolution.

4° La projection d'une section plane d'un cône circulaire droit sur un plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet du cône a pour l'un de ses foyers le sommet du cône, et pour directrice correspondante la droite de rencontre des deux plans.

5° Lorsqu'une section plane d'un cône circulaire droit est une ellipse, la somme des arêtes qui aboutissent aux extrémités d'un diamètre de l'ellipse est constante.

6° Démontrer qu'un plan tangent au tore et passant par le centre coupe la surface suivant deux cercles.

La sphère qui a pour grand cercle un cercle tangent aux deux cercles qui forment l'un des méridiens du tore coupe la surface suivant deux cercles.

7° Trouver la section droite d'un cylindre circonscrit à un tore.

8° Démontrer que les six arêtes de deux trièdres trirectangles, ayant même sommet, appartiennent à un même cône du deuxième degré.

9° Étant donné un conoïde dont Taxe est perpendiculaire au plan directeur et qui enveloppe une sphère, trouver les projections de la courbe de contact sur le plan directeur et sur le plan mené par l'axe et le centre de la sphère.

io° Étant donné un système d'axes rectangulaires, un tore a pour méridien dans le plan ZOX un cercle qui a son centre sur l'axe OX; cet axe rencontre le cercle en un point A, centre d'un nouveau cercle égal au premier et compris dans un plan parallèle à ZOY, une droite qui reste parallèle au plan XOY décrit un conoïde en s'appuyant sur ce second cercle et sur l'axe OZ; on demande la projection sur le plan XOY de la courbe de rencontre des deux surfaces.

ii° On suppose que le plan du second cercle du problème précédent s'enroule sur un cylindre circonscrit au tore et ayant des arêtes parallèles à l'axe du tore, on remplace la directrice courbe du conoïde par la courbe en laquelle s'est transformé le cercle après l'enroulement du plan; trouver la projection sur le plan XOY de la ligne de rencontre du nouveau conoïde et du tore (spirale d'Archimède).

i2° Une sphère a son centre à l'origine des coordonnées que l'on suppose rectangulaires, l'axe OX perce la sphère en un point A; dans le plan XOY, sur OA comme diamètre, on décrit un cercle qui sert de base à un cylindre dont les arêtes sont parallèles à OZ; trouver : i° les projections sur les trois plans coordonnés de la courbe d'intersection du cylindre et de la sphère; 2° l'équation du cône qui a pour directrice cette courbe et pour sommet le point A (ce cône est un cône de révolution) ; 3° les traces sur les plans des coordonnées des tangentes à la courbe.

i3° Étant donnés trois plans de coordonnées rectangulaires, puis dans le plan xy une circonférence qui a son centre à l'origine des coordonnées, et dans les plans zx, zy deux droites parallèles respectivement à l'axe des x et h l'axe des y, à égale distance du plan des xy de part et d'autre de ce plan, trouver l'équation de la surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur les deux droites données et sur la circonférence. Étudier les sections faites dans la surface par des plans parallèles aux plans coordonnés.

i4° Trouver l'équation de la projection, sur un plan perpendiculaire à l'axe d'un cône de révolution, d'une courbe tracée sur le cône et qui se transforme en une ligne droite lorsqu'on développe le cône sur un plan.

i5° On donne un cène de révolution engendré par un angle de 3o degrés, un cylindre dont les génératrices parallèles à l'une des arêtes du cône ont pour directrice un cercle ayant son centre au sommet du cône et dont le plan est perpendiculaire à Taxe. Démontrer que la courbe d'intersection des deux surfaces se transforme en une ligne droite quand on développe le cône sur un plan.

i6° Trouver l'équation du méridien d'une surface de révolution dé-

crite par un econique qui tourne autour d'une droite perpendiculaire à l'un des axes de la conique et qui rencontre cet axe.

i7° Trouver l'équation du méridien d'une surface de révolution décrite par une conique qui tourne autour d'une droite située dans un plan perpendiculaire à celui de la conique et passant par l'un des axes de cette courbe.

i8° Les points 0 et 0' sont les centres de deux circonférences égales dont les plans sont parallèles: trouver l'équation de la surface gauche décrite par une droite qui glisse sur les deux circonférences et sur la perpendiculaire à leurs plans menée par le milieu de la droite 00'.

190 On considère la courbe gauche décrite par le point (%, y, z) dont les coordonnées sont exprimées en fonction d'un paramètre t par les formules

x=J7VJ , y=t\/ï(t) , z = Mt)

<p(t) désignant une fonction de t et ?'(*) la dérivée de cette fonction. Démontrer :

i° Que l'équation du plan oscillateur au point (x, y, x) de cette courbe est

Z — z = k(Xy — Yx) ;

20 Que les points de contact des plans oscillateurs menés à cette courbe par un point P de l'espace sont sur un plan passant par le point.

On appliquera les formules aux deux cas particuliers suivants :

ç(£) = arctg t

2o° Soient

les équations d'une courbe qui dépend d'un paramètre variable t Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une courbe G à laquelle la courbe (1) soit constamment tangente, est que les équations (1) et les équations

(2) ft[x, y,z,t) = o , <?'t{x, y, z,t) = o

soient compatibles en x, y, z quel que soit t. Si cette condition est remplie, les valeurs de x, y, z vérifiant ces quatre équations (1) et (2)

sont des fonctions de t qui définissent les coordonnées d'un point de la courbe G.

En appliquant cette méthode pour exprimer que la droite

où x, y, z, a, b, c sont des fonctions de t, est tangente à une courbe, on retrouvera la condition (12). N°479-

2i° Soit n la longueur de la normale à une courbe plane depuis le point de la courbe jusqu'à l'axe Ox, démontrer que dans la chaînette (n° 548) le rayon de courbure p est égal à n; dans la parabole rapportée à sa directrice comme axe Ox et dans la cycîoïde rapportée à sa base comme axe Ox il est égal à 2 n.

220 On considère la courbe plane enveloppe de la droite x sin a — y cos a — <p'a) = o, où a est un angle variable.

Démontrer que l'on a

ds

" P = Se == ?^ + 9"^*

25° On considère une hélice tracée sur un cylindre quelconque : démontrer que le plan osculateur est en chaque point normal au cylindre. Si le cylindre est de révolution, le rayon de courbure de l'hélice est constant.

GÉOM. ANALYf. S7