CHAPITRE PREMIER

Centre et plans diamétraux,

485. L'équation générale du second degré entre les trois variables x, y, z, est de la forme

(i) Ax* + A'y2 + AV + iByz + zB'zx + *B"xy

+ 2Ca? + aC/y + aC** + F = o;

elle renferme dix termes, ou neuf paramètres arbitraires; nous représenterons le premier membre par f(x, y, z). On pourrait, en suivant la marche adoptée en Géométrie plane pour l'étude des lignes du second degré, examiner les diverses formes du lieu défini par cette équation ; mais, à cause du grand nombre des cas à considérer, cette discussion serait longue et pénible. Nous commencerons par simplifier l'équation (1) et nous ne considérerons ensuite que les équations réduites. Nous baserons cette réduction sur les propriétés du centre et des plans diamétraux dont nous allons nous occuper d'abord.

CENTRA.

486. Un point I est centre d'une surface, lorsque les points de la surface sont placés symétriquement, deux à deux, par rapport à ce point. Comme une droite ne rencontre une surface du second degré qu'en deux points, il faut, pour qu'un point I soit centre de la surface, que toutes les cordes menées par ce point y soient divisées en deux parties égaies.

Lorsque l'origine des coordonnées est centre d'une surface du second degré, l'équation de la surface ne contient pas de termes du premier degré. En effet, les équations d'une droite menée par l'origine sont de la forme (2) x = mz, y = nz.

Les coordonnées z des points de rencontre de la surface et de la droite sont données par l'équation

(3) (Am2 + A'n2 + A" + iBn + iR'm + aB'ron) z*

que Ton obtient en éliminant xety entre les équations (1) et (2). Si l'origine est centre, l'équation (3) a ses racines égales et de signes contraires, ce qui exige que le coefficient Cm + G'n + C" soit nul ; et comme ceci doit avoir lieu pour une infinité de valeurs de m et de n prises arbitrairement, il faut que l'on ait séparément

La réciproque est vraie.

487. D'après cela, pour déterminer le centre d'une surface du second degré, on transportera l'origine en un point I de l'espace, dont nous désignerons les coordonnées par a, b, c, et l'on verra s'il est possible de choisir ces valeurs de manière que la nouvelle équation ne contienne pas de termes du premier degré par rapport aux coordonnées nouvelles.

Lorsqu'on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, les formules de transformation sont x = a -\- x'9 y = b -j- y', z = c-\-z\ et l'équation (1) devient

(4) Ax'2 + A!y' 2 + AV2 + aBy V + 2B 'z'x' + iB"x'y'

+ x'fa{a, b, c) + t/ft{a, b} c) + ïfe{a, b, c) + f(a, b, c) = o. Les coordonnées du centre sont déterminées par les trois équations du premier degré

fa(a, b,c) = o, fb(a, b,c) = o, f'e{a, b,c) = o, ou, en remplaçant a, b, c par x, y, z,

(5) fe{x,y9z) = o, fy{x>y,z) = o, f*{x,y,z) = o9

c'est-à-dire

( Ax + B"y + B'z + C=o,

(6) \Bf,x + A'y + Bz + C'= 0, ( B'x+By -fA"*+C*=o.

Ainsi, on obtient les coordonnées du centime en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de V équation de la surface, prises par rapport aux variables x, y, z.

Si Ton regarde x, y: z comme étant les coordonnées d'un

point variable, chacune des équations (5) définit un plan; le centre de la surface est le point commun aux trois plans. Plusieurs cas peuvent se présenter.

i° Les trois plans se coupent en un seul point; la surface admet un centre unique.

2° Les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, ou deux d'entre eux au moins sont parallèles ; dans ce cas, les trois plans n'ont pas de point commun, et la surface n'a pas de centre.

3° Les trois plans se coupent suivant la même droite, ou se confondent en un seul ; tous les points de la droite ou du plan sont centres de la surface.

Le déterminant relatif aux équations (5) est

\ = AA'A" — AB2 — A'B'2 — A"B"2 + 2BB'B". Lo. dînant est différent de zéro, les équations

étant >Ame de valeurs finies et par un

seul, la surici^ .. ^ unique. Lorsque A est nul,

il y a impossibilité 0 ation, et, par conséquent,

la surface est dépoui .ntre, ou elle en admet une

infinité.

480. Supposons que tous les points de la droite CC (fig. 291) soient des centres. Si l'on joint un point M de la surface à un point quelconque I de la droite CC, et que l'on prolonge d'une longueur IN égale à MI, le point N appartient à la surface ; enjoignant ainsi le point M à tous les points de CC, on obtient une droite NN' parallèle à CC. Fig. 29i. Si l'on joint maintenant le point N à tous

les points de CC, on forme de même une seconde droite MM' parallèle à NN'. La surface se compose donc de droites parallèles à CC, situées deux à deux dans un même plan avec cette droite et à égale distance de part et d'autre ; c'est un cylindre qui a pour axe CC, et, comme la trace du cylindre sur un plan non parallèle aux arêtes est une courbe du second degré ayant son centre sur l'axe, le cylindre est elliptique ou hyperbolique.

Le raisonnement précédent démontre que, dans le cas que nous considérons, l'équation (1) ne peut pas représenter d'autres surfaces courbes que des cylindres elliptiques ou hyperboliques ; mais il peut arriver que cette équation représente une seule droite ou deux plans qui se coupent, et enfin qu'elle n'ait pas de solutions réelles. Il est évident d'ailleurs que tout cylindre elliptique ou hyperbolique a une infinité de centres en ligne droite.

On démontre de la même manière que, lorsque tous les points d'un plan sont des centres, l'équation (1) représente, ou deux plans parallèles, ou un plan unique, ou qu'elle n'admet pas de solutions réelles.

4.89. Lorsque la surface admet un centre, si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l'équation (4) se réduit à

(7) a*/2 + Ay 2 + AV2 + *ByV+ aB'*V+ 2BV?/ + H = o,

dans laquelle le terme constant H est égal à f{a, b, c). Mais on peut simplifier l'expression de ce terme ; car, si Ton rend l'équation proposée homogène, comme nous l'avons expliqué au n° 476, on a

en remplaçant x, y, z par les coordonnées a, b, c du centre, on obtient la relation

(8) 2f(a,b,c,t) = tfi{a9b,c,t), d'où l'on déduit h = Ca + C7* + C"c + F.

Lorsque le nouveau terme constant H est égal à zéro, l'équation (7) étant homogène par rapport à x\ y', z', représente un cône ayant pour sommet l'origine (n° 464) ; cependant le lieu peut se réduire à deux plans, aune droite, ou à un point. Si l'on désigne par D le déterminant

que Ton appelle discriminant de l'équation (1), et par a, a', a", 2b, 2b', 2b", 2C, 2C', 2c", f les dérivées partielles de D par rapport aux coefficients A, A', A*, B, B', B", C, C\ C", F.

a = DI , 2b = Dfl, . . . ,

on voit que f=A, et Ton a, pour les coordonnées du centre

et pour le terme constant H

„ Ce + Ce' + C"c" + F A D H = -,

formules analogues à celles de la géométrie plane (n° 129).

490. Nous avons vu (n° 4?4) que les tangentes aux diverses courbes tracées par un même point sur une surface sont situées dans un même plan ; il n'y a d'exception que lorsque les coordonnées du point annulent à la fois les trois dérivées partielles ^u premier membre de l'équation par rapport à a?, y,z. Dans le cas des surfaces du second degré, un pareil point est centre de la surface; ce point étant aussi situé sur la surface, quand on y transporte l'origine des coordonnées, la constante H est nulle; ainsi, pour les surfaces du second degré, l'exception n'a lieu que dans le cas du cône, quand le point est le sommet.

PLANS DIAMÉTRAUX.

491. Une ligne droite ne perce une surface du second degré qu'en deux points; la surface, lieu des milieux des cordes parallèles, est appelée surface diamétrale.

Soient m, n et p les paramètres constants qui définissent la direction des cordes. Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque de l'espace, ayant pour coordonnées a, ô, c, l'équation (1) prend la forme (4). Une droite menée par la nouvelle origine dans la direction donnée,'

oc' y z est représentée par les équations - =— =- = p. On obtient!

l'équation qui donne les p des points de rencontre de la droite et de la surface, en remplaçant dans l'équation (4) #', y' et V par ?wp, rcp et pp ; on a ainsi

(9) (Am2 -f AV + A>2 + 2Bnp -f iB'mp + 2B"mn)p8

Pour que le point (a, b, c) soit le milieu de la corde menée par ce point dans la direction donnée, il faut que l'équation précédente ait ses deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que les coordonnées a, b9 c vérifient la relation

mf« + n/i-{-pfr0 = o.

Cette équation, étant vérifiée par les coordonnées du point milieu de Tune quelconque des cordes parallèles, représente le lieu cherché.

Si l'on remplace a, b, c par x, y, zy cette équation devient

ou, en développant,

(1 1) (Aro + B"n -f B'p)x + (B"m + Mn -f Bp)y

+ (B'ro + Bn + A»z + (Cm + C'n -f- C» = 0 ; comme elle est du premier degré, elle représente un plan. Ainsi, dans les surfaces du second degré, la surface diamétrale est un plan.

492. Remarque I. L'équation (10) est vérifiée, quelles que soient m, n et p par les valeurs de #, y, z qui satisfont à la fois aux trois équations (5) ; il en résulte que tous les plans diamétraux passent par le centre de la surface, quand il y en a un, ou par le lieu des centres, quand il y en a une infinité.

Remarque IL Lorsque les paramètres m% n et p satisfont à la relation {12) Aro1 -f A'n2 + A>2 -f 2Bnp -f zB'mp + 2B'W = o,

■l'équation (9) s'abaisse au premier degré, c'est-à-dire que chacune des droites parallèles à la direction donnée ne perce la surface qu'en un point. Dans ce cas, le plan représenté par l'équation (1 1) est le lieu des points tels que les droites menées par chacun d'eux parallèlement à la direction donnée ne rencontrent pas la surface, ou sont situées entièrement sur

la surface. On voit aisément que ce plan est parallèle à la direction donnée et par conséquent contient toutes les droites dont nous venons de parler.

Remarque III. Quand la surface est cylindrique, si dans l'équation (9) on remplace m> n etp parles coefficients angulaires des génératrices, les coefficients de p2 et de p doivent être nuls quels que soient a, ô, c. Le coefficient de p étant mis sous la forme (11), les quatre termes seront nuls séparément On en conclut que les coefficients angulaires des génératrices satisfont aux quatre relations

Awi-fBVf-B'p=o , B*m+A'n + B/> = o , B'/n+B»+A"p=o , Cw+CV* + Cwp=o.

Le coefficient de p2 doit être aussi nul ; mais cette dernière relation (12) est une conséquence des trois premières.

Remarque IV. Quand la surface est dépourvue de centre, les trois plans définis par les équations (5) sont parallèles, ou la droite d'intersection de deux d'entre eux est parallèle au troisième. Dans le premier cas, on a

a, p, a', p', désignant des constantes ; l'équation (10) se réduit à

(«m -\- fin -f- p) f's -f- ma' -f- n$ = 0 ;

elle représente, pour toutes les valeurs de m, n etp, des plans parallèles entre eux. Dans le second cas, si les plans définis par les deux équations f'x= o , f'y = 0 se coupent suivant une droite parallèle au plan f'z = 0, l'équation générale des plans qui passent par la droite d'intersection des deux premiers étant <*fx -f- $f'y = 0 , on a

a, p, r étant des constantes ; et, par suite, l'équation (10) prend la forme

(m + p*)fx + {n + p$fl-{-pr = o;

elle représente des plans parallèles à la droite d'intersection des deux plans

fx=o, /y=0.

Ainsi, les surfaces dépourvues de centie ont leurs plans diamétraux parallèles à une même droite ou parallèles entre eux.

CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 58a

493. Considérons une direction ne satisfaisant pas à la relation (12) ; si Von prend pour axe des z une des cordes, pour axe des x et des y deux droites situées dans le plan diamétral correspondant, l'équation de la surface devra être vérifiée par deux valeurs de z égales et de signes contraires, pour chaque système de valeurs attribuées aux variables z et y ; elle aura donc la forme

Pz2 + (?(x}y)=oi

$ (x, y) désignant une fonction des deux variables x et y dont le degré ne dépasse pas deux. Déplaçons maintenant les axes des x et des y dans le plan diamétral , en conservant à Taxe des z sa direction; ce changement des coordonnées s'effectuera par les formules de la Géométrie plane. Lorsque la fonction 9 (ar, y) est du second degré, nous avons vu (liv. III, chap. 11) que l'on peut choisir d'une infinité de manières les nouveaux axes des x et des y, de telle sorte que cette fonction se réduise à l'une des trois formes

M*2 + N*/2 + H , Ny* + Qx , N*/2 + H, et alors l'équation de la surface sera elle-même ramenée à l'une des trois formes

(a) Ma; 2 + N*/2 + P*2 + H = o,

(p) Ny' + P*1 +Q* = o,

Si la fonction ? est du premier degré, on la' ramène par le même changement à la forme Qx, et l'équation de la surface devient

(a) Pz2+Q^=o.

Enfin, si la fonction ? se réduit à une constante, l'équation

de la surface est

(s) Pz2 + H = o

Les lettres M, N, P, Q désignent des constantes différentes

de zéro, et H une constante qui peut être nulle.

494. Considérons d'abord l'équation (a). En égalant à zéro les dérivées partielles de son premier membre, on a trois équations qui admettent la solution x = o, y = o, z = o et celle-là seulement ; la surface a donc un centre unique. Chacun des plans des coordonnées divise en deux parties égales

586 LIVRE VI, CHAPITRU i.

les cordes parallèles à l'intersection des deux centres; pour cette raison, on dit qu'ils forment un système de trois plans diamétraux conjugués.

Considérons maintenant l'équation (p). La dérivée partielle f'x, qui se réduit ici à Q, n'étant pas nulle, la surface est dépourvue de centre ; ce n'est pas un cylindre parabolique, car un plan parallèle au plan des yz la coupe suivant une ellipse ou une hyperbole. Le plan des xz divise en deux parties égales lea cordes parallèles à l'axe des y et le plan des xy les cordes parallèles à l'axe des z\ mais les droites parallèles à Taxe des x ne percent la surface qu'en un point, et il n'y a pas de plan diamétral correspondant. Tous les plans diamétraux sont parallèles à une même droite, le nouvel axe des x.

L'équation (y) représente un cylindre elliptique ou hyperbolique, dont les génératrices sont parallèles au nouvel axe des x; la surface admet une infinité de centres situés sur l'axe des x et tous les plans diamétraux passent par cette droite. La surface peut se réduire à deux plans se coupant suivant cette droite ou à cette droite elle-même.

L'équation (S) représente un cylindre parabolique, ayant ses génératrices parallèles à l'axe des y ; la surface est dépourvue de centre ; tous les plans diamétraux sont parallèles au plan des xy.

Enfin l'équation (s) représente deux plans parallèles, qui peuvent se confondre ou être imaginaires. Tous les points du plan des xy sont des centres.

Remarquons que les surfaces représentées par les cinq équations précédentes se distinguent les unes des autres par des propriétés incompatibles entre elles, de sorte qu'une même surface ne peut être représentée par deux équations de types différents. Les surfaces représentées par les trois dernières équations, étant engendrées par une droite qui se meut parallèment à elle-même, appartiennent à la famille des surfaces cylindriques. On en conclut que toutes les surfaces du second degré, autres que les cylindres, sont cornprises dans les deux formes (a) et (p); la première convient aux surfaces à centre unique, la seconde aux surfaces dépourvues de centre.

DIAMÈTRES

495. Nous avons vu que les sections faites par des plans parallèles dans une surface du second ordre sont des courbes homothétiques (n° 4^4) ; quand ces courbes sont des courbes à centre, le lieu des centres s'appelle diamètre.

Enfin l'équation (s) représente deux plans parallèles, qui peuvent se confondre ou être imaginaires. Tous les points du plan des xy sont des centres.

Remarquons que les surfaces veprésentées par les cinq équations précédentes se distinguent les unes des autres par des propriétés incompatibles entre elles, de sorte qu'une même surface ne peut être représentée par deux équations de types différents. Les surfaces représentées par les trois dernières équations, étant engendrées par une droite qui se meut parallèlement à elle-même, appartiennent à la famille des surfaces cylindriques. On en conclut que toutes les surfaces du second degré, autres que les cylindres, sont comprises dans les deux formes (a) et (p) ; la première convient aux surfaces à centre unique, la seconde aux surfaces dépourvues de centre.

Le plan sécant est représenté par une équation (i3) ax-[-by-^-cz = l,

dans laquelle a, b, c sont des constantes, et / un paramètre variable ; si dans l'équation de la surface f (x, y, z) = o> on

remplace z par sa valeur

/ — ax — by

tirée de l'équation du plan, on obtient l'équation de la projection de la courbe d'intersection sur le plan des xy ; pour avoir le centre de la courbe de projection, il faudra ensuite égaler à zéro les dérivées relatives à x et à y. Mais on peut obtenir ces dérivées sans faire la substitution; il suffit d'appliquer à la fonction f (x, y, z) le théorème des fonctions composées, en regardant z comme une fonction des deux variables x et y donnée par la formule (14) on a ainsi les deux équations

Quand on projette une courbe à centre sur un plan, il est évident que le centre de la courbe proposée se projette au centre de la courbe-projection ; les équations (i5), jointes à Téquation du plan, détermineront donc le centre de la courbe d'intersection. Comme les équations (i5) ne contiennent pas le paramètre variable /, elles représentent le lieu des centres des sections parallèles; ainsi le diamètre est la droite représentée par les équations

(16) fl = [ï = Ùm

abc

Tous les diamètres passent par le centre de la surface quand elle a un centre unique; ils coïncident avec la ligne des centres quand la surface admet pour centres tous les points d'une droite, c'est le cas des cylindres elliptiques et hyperboliques ; enfin, si la surface admet comme centres tous les points d'un plan, les équations (i5) se confondent et représentent ce plan. Quand la surface est dépourvue de centre et n'est pas un cylindre parabolique, on reconnaît à l'aide de l'équation (p)$ que tous les diamètres sont parallèles au nouvel axe des x. Dans les cylindres paraboliques, les sections planes étant des paraboles, il n'y a pas de diamètre.

496. Remarque I. L'équation (a) représente les surfaces à centre unique ; chacun des nouveaux axes des coordonnées est le lieu des centres des sections parallèles au plan des deux autres ; pour cette raison, on dit que ces droites forment un système de t?*ois diamètres conjugués. Il est aisé de voir que, réciproquement, si l'on rapporte la surface à trois diamètres conjugués, l'équation est de la forme (a) ; car soit

Ax2 + A!y2 + A!z2 + i~Byz + iB'zx + iWxy +H = 0 l'équation de la surface; si l'on y fait x=a9 on obtient la section de la surface par un plan parallèle au plan des yz ; la projection de cette section sur le plan des yz devant avoir pour centre l'origine, les deux coefficients B; etB" sont nuls ; de même le coefficient B est nul et l'équation se réduit à la forme (a). Il en résulte que l'on peut considérer les diamètres conjugués comme les droites d'intersection d'un système de trois plans diamétraux conjugués. Ceci nous permex d'établir

les relations qui existent entre les paramètres directeurs (w,w, p), (m', ri, //), (m", ri',p") de trois diamètres conjugués, quand la surface est rapportéeà des axes de coordonnées quelconques; en écrivant que le plan diamétral qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'un d'eux estparallèelà chacun des deux autres, on obtient, d'après l'équation (n), les trois relations

Îkmnï -f- A'nri + Al'pp' -f- B (npf + rip) -f- B' (mpf -f m'p) + B" {inri + m' ri) =o, Am'm"+ AW+À"p'p"+ B(n'p" -f- ri'p') -f- B/(m'pff+ m"p' ) + B"(m'n" + m'n) — o, v Am"m + AWn -f- M'p"p -f B(w"/) + np") -f B'(m"j9 -f mp") -f B"(w"n -f m"?i) = o,

Remarque II. Les autres surfaces n'admettent pas de systèmes de diamètres conjugués; cependant les axes des coordonnées qui ont servi à mettre leurs équations sous les formes simples (p), (y), (S), (s) satisfont encore aux trois relations précédentes. En ce qui concerne les formes (f) et (y), il suffit d'écrire que le plan diamétral qui divise en deux parties égales les cordes parallèles au nouvel axe des y, c'est-à-dire à la direction {rri, ri)> est parallèle à chacune des deux autres, et de même pour le plan diamétral des cordes parallèles à la direction (m", ri*). Quant aux formes (ô) et (e), on obtient les deux dernières relations en remarquant que le plan diamétral qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à la direction (m", n\ y") est parallèle à chacune des deux autres ; le premier membre de la première relation est

m(Aro'-|-B V+By)+n(B V+AV+B/)+j9(B'm'+ Bn'+A"// ) 5

or on sait (n° 492) que la direction (m\ ri,p') des génératrices du cylindre annule les trois parties séparément.