PLANS PRINCIPAUX

497. Parmi les plans diamétraux d'une surface du second degré, on distingue en particulier ceux qui sont perpendiculaires aux cordes qu'ils divisent en deux parties égales ; ce sont des plans de symétrie de la figure ; on les appelle plans principaux. Dans ce qui précède, les axes des coordonnées étaient quelconques ; dans la recherche des plans principaux, nous supposerons les axes rectangulaires. Si l'on désigne par a, p, y les cosinus des angles que fait avec les axes une direction

donnée, les équations des cordes peuvent se mettre sous la forme

a, £, c étant les coordonnées d'un point particulier I de cette corde, et x, y, z celles d'un point quelconque de cette même corde. La lettre p désigne la distance du premier point au second, affectée du signe + ou du signe — , suivant qu'elle est comptée dans la direction donnée ou dans la direction opposée. On obtient l'équation qui donne les distances du point I aux points de rencontre de la corde et de la surface en remplaçant dans l'équation (4) du n° 487 les lettres x', y\ z' par ap, (3p, yp; cette équation devient ainsi

(19) ^ Sp2 + Tp + R = o, en posant, pour abréger,

| S = Aoc2 + A'p2 + AV + 2B Py + 2B ya + 2B"ap,

Si l'on suppose le point I fixe et que l'on fasse varier les angles a, p, y, on peut regarder l'équation (19) comme représentant la surface en coordonnées polaires. Le coefficient S de p2 ne dépend que de la direction du rayon vecteur, le terme constant R ne dépend que de la position du point I, tandis que le coefficient T varie à la fois avec la direction du rayon vecteur et la position du point I.

498. L'équation du plan diamétral des cordes parallèles à la direction (a, p, y) prend la forme

*fx + tfy + ff*=°,

c'est-à-dire

(21) (Aa + B"p + B'T) x + (B"a + A'p + BY) y + (B/a + Bp + A*Y)* + Ca + C'P + C"Y = o.

Soient a4, Pi, yi les cosinus des angles que fait avec les axes des coordonnées la normale à ce plan diamétral, ô l'angle de la normale avec la direction des cordes, on a

«1 Pi . Ti

Aa + B"p + B'y B"a + A'p + BT B'a + Bp + A"T

««1 + PP1+TT1 = cose-

a( Aa +B"p +B'y) + p(B"a+ A'P +B Y) +r(B'a -f Bp + A"y) S #

Pour que le plan diamétral soit un pian principal, il faut que la normale au plan coïncide avec la direction des cordes ; on doit donc avoir les relations

K22) Aa + B^+B'Y- B^ + A'P + By- B'a + Bp + A'Y- S' alors l'équation (21) du plan principal devient

(23) S(«a? + Py + Y*) + Ca + C'p + C"Y = o.