DISCUSSION DE L'ÉQUATION DU TROISIEME DEGRE

501. Considérons d'abord le cas le plus général, celui où aucun des coefficients B, B', B" n'est nul. Prenons l'équation en S sous la forme (5o).

I. Supposons que les trois quantités a, b, c soient différentes et rangées par ordre de grandeur croissante. Substituons successivement à la place de S, dans le premier membre de l'équation (3o), les quantités a±z,b±t,c±z, (s, e', s) désignant des quantités positives très-petites. Par la première substitution, le premier terme de l'équation prend la valeur

zh — , très-grande numériquement, tandis que les autres

termes conservent des valeurs finies ; ce premier terme donne donc son signe au polynôme. De même, par la seconde substitution, le second terme prend la valeur ± =^-, et donne son

Jb> e

signe au polynôme. De même, par la troisième substitution,

le troisième terme ± =-7^-7, donne son signe au polynôme. B c

Quand S varie de a + £ à b — e', le premier membre reste fini et varie d'une manière continue ; puisque ces deux nombres donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent entre eux une racine réelle de l'équation. On reconnaît de la même manière que l'équation a une seconde racine entre b et c. La troisième est plus grande que c ou plus petite que a, suivant que la quantité BB'B" est positive ou négative ; en effet, quand on donne à S une valeur très-grande numériquement,

le premier membre de l'équation (3o) se réduit à — T R/R/y;

donc, si la quantité BB'B" est positive, le premier membre change de signe, quand S varie de c + £,?à + 00> et, par suite, l'équation a une racine réelle plus grande que c; lorsque la quantité BB'B" est négative, le premier membre change de signe quand S varie de — - °o ka— z\ dans ce cas, la troisième racine est plus petite que a.

Ainsi, dans le cas que nous considérons, les trois racines de l'équation sont réelles et inégales. A chacune de ces racines correspond une direction unique des cordes ; car, si. dans les relations (29J on remplace S par l'une des racines, les trois coefficients de a, p, y étant différents de zéro, on obtient pour les trois cosinus des valeurs déterminées.

II. Supposons que deux des trois quantités a, b, c, par exemple a et b, soient égales. Les trois racines sont encore réelles et inégales ; mais l'une d'elles est égale à a. En effet, l'équation (3o), mise sous forme entière, devient

(3i) B'2B"2(S — *)(S— c) + B"2B2(S — <?)(S — a) + B2B'2(S — a) (S — *) — BB'B"(S — a) (S — i)(S — c) = o.

Quand a = b, le premier membre est divisible par S —a, et l'on a l'équation du second degré

B"2(B2+B'2)(S— c)+B2B'2(S— a)— BB'B''(S— a)(S—c)=o. Le premier membre prenant des valeurs de signes contraires, quand on attribue à S les valeurs a et c, cette équation a ses deux racines réelles, et l'une est comprise entre a et c. Si dans les relations (29) on remplace S successivement par

GÉOM. ANÀLYT. 38

chacune des racines de l'équation du second degré, aucun des coefficients ne s'annule, et chaque racine donne une direction unique. Pour la première racine a, les deux premiers coefficients sont nuls, sans que le dernier le soit ; il en résulte Yr=o; pour vérifier les équations (24), il faut prendre en outre B'a-j-Bp — o, ce qui détermine encore une direction unique parallèle au plan des xy,

III. Enfin, si les trois quantités a, b, c sont égales, deux racines de l'équation (3i) deviennent égales à a, et la troisième est donnée par l'équation du premier degré

(B'2B"2-f B"2B2 + B2B'2) — BB'B"(S — a) = o.

A cette racine simple correspond une direction unique. Pour la racine double, les trois équations (24) se réduisent aune seule, B'B"a -\- B"Bp -f- BB y = 0, et il y a indétermination ; toutes les directions parallèles au plan B'B"x-\-Bf,By-\-BR'z — o conviennent à cette racine double;

502. Considérons maintenant le cas où les trois coefficients' B, B', B" ne sont pas différents de zéro.

I. Un seul coefficient est nul, par exemple B'7. L'équation du troisième degré (26) devient

Soit A < A' ; les substitutions de — 00, A, A', + 00 dans le premier membre donnent des résultats affectés respectivement des signes — , -\-, — , -)-; donc l'équation a ses trois racines réelles et inégales. Les équations (24) donnent pour chacune d'elles une direction déterminée ; car des deux premières on déduit

des valeurs finies pour les rapports -> -•

Y Y IL Deux coefficients sont nuls, par exemple B7 et B". L'équation du troisième degré (26) se réduit à

(S — A) [(S— A') (S — A") — B2] = o; elle admet la racine A et deux racines réelles et inégales données par une équation du second degré. Si la quantité (A — A') (A — A") — B2 est différente de zéro, aucune des deux

CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 59o

racines de l'équation du second degré n'est égale à A, et, par conséquent, les trois racines sont inégales. Pour S = À, les équations (24) se réduisent à

(A'-A)P + BY = o, Bp + (A"-A)Y=o,

et ne peuvent être vérifiées que par les valeurs p = o, y = o9 d'où a= 1, ce qui donne une direction bien déterminée. Pour chacune des deux autres racines, ces équations se réduisent à a= o, (A' — S) p -f By •= 0, ce qui donne encore une direction bien déterminée.

Si l'on a (A — A') (A — A") — B2 = o, l'une des racines de l'équation du second degré étant égale à A, l'équation admet la racine double A et une racine simple. A la racine simple correspond une direction unique ; pour la racine double A, les équations (24) se réduisent à une seule

(A'-A)p + BT=o, ce qui donne toutes les directions parallèles au plan (A'— A)y + Bz=o.

III. Lorsque les trois coefficients B, B', B" sont nuls à la fois, l'équation (26) se réduit à

(S A)(S — A')(S— A") = o, et admet pour racines A, A', A". Quand ces trois racines sont inégales, les équations (24) montrent qu'à ces racines correspondent des directions respectivement parallèles à chacun des trois axes coordonnés. Si A = A', à cette racine double correspondent toutes les directions parallèles au plan des xy. Enfin, si A = A' = A", à cette racine triple correspondent toutes les directions de l'espace, il y a ici indétermination absolue, car les équations (24) deviennent alors des identités.

Ainsi, en résumé, V équation du troisième degré en S a toujours ses trois racines réelles. A une racine simple correspond une direction unique ; à une racine double, toutes les directions parallèles à un plan; à une racine triple, toutes celles de Vespace.

503. Soient (a, p, y), (a, p', y') les cosinus des angles que font avec les axes des coordonnées les directions qui correspon-

dent à deux racines différentes S et S'. On a, en vertu des équations (24),

/ Aa + B"p + B'y = Sa, ( Aa' + BT + B Y = S V, (3a) B"a+A'p +By = Sp, BV + A'p' + By' = S'P',

( B'a + Bp + A"y=Sy, ( BV + Bp' + AY = S'Y'. Multiplions les deux membres des premières équations respectivement par ?!, p\ y', ceux des secondes par — a, — p, — y, et ajoutons membre à membre ; il vient

(S-S')(aa' + pp' + n') = o, ou «*'+PP/ + ÏY/ = °-

Donc les directions qui correspondent à deux racines différentes sont perpendiculaires entre elles.

Il en résulte que les directions qui correspondent à une racine double sont toutes perpendiculaires à celle qui correspond à la troisième racine.

Le plan diamétral des cordes parallèles à la direction (a, p, y) est donnée par l'équation (21)

S (a* + ?y + Y*) + (Ca + C'P + C'y) = 0. Ainsi, à chaque direction des cordes donnée par une racine S différente de zéro correspond un plan principal.

Si une racine S est nulle, le plan principal n'existe plus. Cependant si Ton a Ca -f C'p + C'y = 0, l'équation (a3) devient une identité, et la position du plan principal est indéterminée ; tout plan perpendiculaire à la direction des cordes est un plan principal; dans ce cas, la surface est cylindrique. D'après l'équation (19), si une racine S est nulle, les droites correspondantes ne rencontrent la surface qu'en un seul point.

Il est bon d'observer que l'équation en S a toujours au moins une racine différente de zéro ; car les trois racines ne sont égales que si l'on a B — B' = B" = o ; alors ces racines, étant égales à A, A', A*, ne sont pas toutes trois nulles, sans quoi l'équation proposée ne serait pas du second degré. On peut„ d'ailleurs, démontrer cette propriété de l'équation (26), indépendamment de l'étude que nous en avons faite; en effet, si les trois racines étaient nulles, on aurait, en égalant à zéro lea coefficients de S2 et de S, A + A'+A"=o, A'A"+A"A + AA'— B2 — B/2— B"2 = o;

si du carré de la première quantité on retranche le double de la seconde, il vient

d'où À=A'=A'/=B = B'==B// = o, et l'équation ne serait plus du second degré. Ainsi, toute surface du second degré a au moins un plan 'principal.

804. Nous avons vu (n° 49$) que les équations des surfaces du second degré peuvent être ramenées d'une infinité de ma nières aux cinq types (a), ((3), (y), (S), (e). Concevons que le plan diamétral qui a servi à opérer la transformation soit un plan principal ; comme on peut effectuer les réductions ultérieures à l'aide de deux axes rectangulaires situés dans ce plan, chacune, des cinq équations représentera la surface rapportée à des coordonnées rectangulaires.

Les surfaces à centre unique (a) admettent trois plans principaux, les trois nouveaux plans des coordonnées. Les surfaces dépourvues de centre (p) en admettent deux, le plan des xy et celui des xz. Les cylindres elliptiques ou hyperboliques (y) en admettent deux, les plans des xy et des xz, et en outre un plan indéterminé perpendiculaire à l'axe des x. c'est-à-dire aux génératrices. Le cylindre parabolique (S) en admet un, le plan des xy, et en outre un plan indéterminé perpendiculaire aux génératrices.