K = A+A'+A* , L=AT-B2 + A'/A-B/2+AA'-B

conservent les mêmes valeurs quand on passe de l'ancien système d'axes au nouveau. En d'autres termes, si l'on appelle K1? LJ3 A15 Dj les valeurs que prennent K, L, A, D quand on y

remplace les coefficients A, A', A",. . . F par Aj, A'i5 A"lf . . Fn on a

K1==K , L1 = L , A1=A,D1=rD. Considérons d'abord les trois quantités K, L, A qui ne dépendent que des coefficients des termes du second degré. Si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point Ot en faisant

x = a + a/ , y = b + y' , z = c + zr,

l'ensemble des termes du second degré de la nouvelle équation de la surface est y[x',y',z')\ donc les coefficients des termes du second degré et, par suite, les quantités K, L, A ne changent pas. Ensuite, si l'on fait tourner les axes, il faudra employer les formules de transformation

(14) x' = lxi -j- myi -f- nzi , y' = lrxi -\- ?n/yi -f- nrZ\ ,

zr = l"xi -f- m"y\ + n"zi ,

et, en appelant ^t{x^ yn zj l'ensemble des termes du second degré de la nouvelle équation, on aura identiquement, en vertu des formules (14)

<?(tf,y,,z') = <?i(xl,yl,zi);

d'autre part, l'on a identiquement, en vertu de ces mêmes formules

tf* + y" + 7!*=x\ + y\ + z\, car les deux membres de cette relation expriment le carré de la distance du même point à l'origine Oi. On a donc, en multipliant la seconde de ces identités par S et la retranchant de la première,

(i5) cp (a/, y\ zf) — S (x'2 + ij'2 -f- z'2) = Çl (xu y, , z,)

Si l'on détermine S de telle façon que le premier membre de cette identité se décompose en un produit de facteurs linéaires sn %', y\ zf, le second membre, en vertu des relations (i4), se décomposera en un produit de facteurs linéaires en xi9 y^zt ; et réciproquement. Donc les valeurs ''de S pour lesquelles le premier membre de l'identité (i5) est un produit

de facteurs linéaires, sont égales aux valeurs de S pour lesquelles le second membre est un produit de facteurs linéaires ; or les premières valeurs de S sont racines de l'équation en S

S3 — KS2 + LS — A = o,

et les secondes sont racines de la nouvelle équation en S

S3 — K^ + I^S — At=o; ces deux équations ayant les mêmes racines, on a

Nous avons ainsi démontré que les quantités K, L, A ne changent pas; il en est de même de D. En effet, supposons A différent de zéro; alors, en transportant l'origine des coordonnées au centre de la surface, on a une équation dont le

terme constant a pour valeur -- (n° 489). Gomme ce terme

constant reste le même, quelle que soit l'orientation du trièdre des axes coordonnés, et comme A ne change pas quand on fait un changement d'axes, D ne change pas non plus et Ton a

Cette relation devient identique si l'on y remplace Ai, A't, A/7i, . . . Ff par leurs expressions en fonction des anciens coefficients A, A', A". . . F, telles qu'elles résultent des formules de transformation : elle a donc lieu quels que soient A, A', A". . .. F, c'est-à-dire même si A est nul.

Les quatre quantités

sont, par rapport aux coefficients A, A', A", B, B', B", G, C', C", F, homogènes et de degrés respectifs 1, 2, 5, 4. Si donc on multiplie le premier membre de l'équation de la surface par une constante X, la première des quantités (16) est multipliée par X, la deuxième par X2, la troisième par X3, la "quatrième par X4. On en conclut qu'une combinaison des quantités (16), homogène et de degré zéro par rapport aux coefficients A, A', A". . . F, ne change pas quand on multiplie le premier membre

de l'équation de la surface-par la constante X. Telles sont par exemple les trois combinaisons

KA la2 a*

On a ainsi trois quantités qui ne changent pas quand on fait un changement d'axes rectangulaires et qu'on multiplie ou divise tous les coefficients par un même facteur.

Les quantités (16) jouent, dans la théorie des surfaces du second degré, le même rôle que les quantités

A-f C — 2Bcos6 f A

" sin2 0 ' sin2 8 ' sin 20

dans la théorie des coniques (nos 144 et 214).

On appelle cône des directions asymptotiques d'une surface, le cône dont on obtient l'équation en égalant à zéro l'ensemble des termes de degré le plus élevé dans l'équation de la surface. Pour une surface du second degré, ce cône a pour équation

La condition K = 0 exprime que ce cône est capable d'un trièdre trirectangle inscrit (n° 478).

La condition L = 0 exprime que ce cône est capable d'un trièdre trirectangle circonscrit (n° 478).

La condition A = o, que ce cône se décompose en deux plans.

Enfin la condition D = o que la surface du second ordre est un cône, un cylindre, ou un système de plans.

Remarque. La réalité des racines de l'équation en S, l'invariabilité des fonctions K, L, A, pour les changements d'axes rectangulaires et les significations géométriques des équations K — 0, L = o , A — 0 sont des conséquences immédiates des théorèmes qui ont été établis pour l'équation en X relative à deux coniques (nos 352 et suiv.). En effet, considérons les deux coniques qui auraient pour équations en coordonnées planes homogènes

<p (x, y, z) = Ax2 + A'?/2 + AV + zByz -f ÏQ'zx + *B"xy = 0

(18) 3?8+ya + Z2=0

603 LIVRE Vî, CHAPITRE II.

on, en coordonnées cartésiennes X = - , Y = -,

AX2 + AT2 + A'7 + 2BY + alî'X-f aB'XY = o

L'équation en X relative à ces deux coniques n'est autre chose que l'équation en S dans laquelle on remplacerait S par — X; comme la seconde des coniques considérées est entièrement imaginaire, les quatre points d'intersection des deux coniques sont imaginaires et les racines de l'équation en X, c'est-à-dire aussi celles de l'équation en S, sont réelles,

Si l'on fait une substitution de la forme

x=!x1 -{-myi -\-nzi y = l'xi -\-ni'yi -\-n,zi z = rxi + m"yi+n»z19

les racines de l'équation en X ne changent pas. Or, si cette substitution correspond à un changement d'axes rectangulaires dans l'espace, 'x2 + y2 + *2 se change en x * + y\ + A > et la nouvelle équation en X est encore la nouvelle équation en S dans laquelle on remplacerait S par — X. Les racines de l'équation en S restent donc invariables quand on (ait un changement d'axes rectangulaires : les coefficients K, L, A de cette équation sont donc invariables.

Enfin on a vu que, si dans l'équation en X relative aux deux coniques (18), le terme en X2 manque, il existe un triangle inscrit dans la première des coniques 9 (x, y, z) = 0 et conjugué à la seconde x2 + V2 +*2 — °* En appelant (a, p, y), (a , p', y'), (a", (p\ y") les coordonnées homogènes des sommets de ce triangle, on a, puisque ces sommets sont sur la première conique

et, puisqu'ils sont conjugués par rapport à la seconde

Ces conditions sont donc remplies si le coefficient K de l'équation en S est nul ; or elles expriment que, dans l'espace, les

trois droites dont les paramètres directeurs sont (<x, p, y), (a', p', y') , (a", p", y") forment un trièdre trirectangle inscrit au cône des directions asymptotiques de la surface.

On retrouverait de même la signification de l'équation L=o.

GEOM. ANALYT. 39

ï>e l'ellipsoïde.

811. Nous avons ramené l'équation des surfaces du second degré qui ont un centre unique à la forme

Sa?1+S,yt+SV + H = o, en rapportant la surface à ses trois plans principaux.

Supposons d'abord que les trois racines aient le même signe, par exemple le signe -f-. Si le terme constant H est positif, l'équation n'est vérifiée par les coordonnées d'aucun point de l'espace. Si le terme constant II est égal à zéro, l'équation n'est satisfaite que pour#=?/— 2=0; elle représente un seul point, l'origine. Considérons enfin le cas où H est négatif et posons

l'équation se met sous la forme

x* . ir . z* a2^ b2 ' c2

La coordonnée x ne peut varier que de — ak-\~a,yàe — à

à + b, z de — c à + c ; prenons sur l'axe des x, de part et d'autre de l'origine, des longueurs OA et OA' égales à a, sur l'axe des y des longueurs OB et OB' égales à b, sur l'axe des z des longueurs OC et OC' égales à c (fig. 292) . Par les points A et A', B et B7, C et C, imaginons des plans respectivement parallèles aux plans YOZ, ZOX, XOY,, la surface sera entièrement comprise dans le parallélipipèderectangle ainsi formé. On a donné à cette surface le nom à9 ellipsoïde.

Fig. 292.

SIS. L'origine est centre de l'ellipsoïde . Les plans coordonnés, qui sont les trois plans principaux de l'ellipsoïde, coupent la surface suivant trois ellipses ABA', BCB', CAC, que Ton appelle sections principales de l'ellipsoïde.

Si Ton coupe la surface par un plan parallèle au plan YOZf on obtient pour section l'ellipse

yi i zl— x

dont le centre I est sur Taxe des x (flg. 292). Les points de la

courbe étant deux à deux symétriques par rapport au centre I, les points de la surface sont symétriques deux à deux par rapport à la droite OX, qui est un axe de symétrie de la surface. A mesure que le plan sécant s'éloigne du plan principal YOZ, c'est-à-dire quand x varie de 0 à a, l'ellipse d'intersection reste toujours semblable à l'ellipse CBC, mais diminue jusqu'à se réduire à un point. Il en est de même des sections parallèles à chacun des deux autres plans principaux. Ainsi l'ellipsoïde admet trois axes qui sont les intersections des plans principaux deux à deux. Les extrémités des axes sont les sommets de l'ellipsoïde. Si l'on suppose aT>b> c, 2a sera Taxe majeur, 2b l'axe moyen, 2c l'axe mineur.

Soit M un point quelconque de l'ellipsoïde (flg. 293) ; par ce point et le grand axe faisons passer un plan; ce plan coupe la surface suivant une courbe du second degré fermée, par conséquent, suivant une ellipse; à cause de la symétrie, les axes de cette ellipse sont la droite AA' et le diamètre DD' suivant lequel le plan sécant coupe l'ellipse principale CBC'B' ; le rayoo OD, compris entre les deux axes b et c de cette ellipse principale, est plus grand que c ; mais d'un autre côté le rayon OM est compris entre OD et a; ce rayon est donc compris entre c et a. On conclut delà que le plus grand rayon de l'ellipsoïde est le demi-grand axe OA, le plus petit, le demi-petit axe OC.

PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMETRES.