Considérons une série de cordes parallèles à la droite

le plan diamétral qui les divise en deux parties égales a poui

équation (n° 491)

(3) -ji + Jï+T*-0 Réciproquement, tout plan passant par le centre est un plan diamétral ; soit, en effet, le plan

(4) Ax + By + Cz = o;

ce plan coïncidera avec le plan diamétral précédent, si Ton a

(5) JL~ JL— L

Telles sont les relations qui existent entre la direction des cordes et celle du plan diamétral conjugué. Il est évident que le plan diamétral coupe la surface suivant une courbe fermée du second degré, et, par conséquent, suivant une ellipse. Chaque point de cette ellipse est le point de contact d'une droite parallèle aux cordes et tangente à la surface ; ces tangentes forment un cylindre tangent à l'ellipsoïde, tout le long de cette ellipse et l'enveloppant.

514. Nous savons que les sections faites par des plans parallèles dans l'ellipsoïde sont des ellipses homothétiques (n° 484). Soit Ax-{-By-{-Cz = l l'équation d'un plan, dans laquelle A, B, C sont des cofficients constants, l un paramètre variable ; le lieu des centres de ces ellipses, ou le diamètre, estla droite fn° 4g5)

(6j * JL=JL=L

passant par le centre de la surface.

Le diamètre est parallèle aux cordes que le plan diamétral parallèle aux plans sécants divise en deux parties égales ; car les coefficients de la droite et ceux du plan vérifient les relations (5),

Réciproquement, toute droite (2) passant par le centre est un dîamàtre; car si l'on mène le plan diamétral (3) conjugue de cette direction, et des plans sécants parallèles, le lieu des centres coïncidera avec la droite donnée.

L'équation du plan tangent (n° 475) se réduit ici à

Ce plan tangent est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui va du centre au point de contact ; car ce dia-

mètre ayant pour équation— = —=—, ses coefficients et ceux

du plan tangent vérifient les relations (5).

DIAMÈTRES CONJUGUES.

51 S. Nous avons dit (n° 496) que trois diamètres forment un système de diamètres conjugués, quand chacun d'eux est conjugué du plan des deux autres, et nous avons déjà reconnu l'existence de pareils systèmes. Menons arbitrairement un premier diamètre OD (fig. 294) et considérons le plan diamétral conjugué ; ce plan coupe l'ellipse- 294- soïde suivant une ellipse ; prenous deux diamètres conjugués quelconques OE, OF de cette ellipse ; les trois diamètres OD, OE, OF formeront un système de diamètres conjugués ; car si l'on prend pour axes des coordonnées les trois droites OD, OE, OF et que l'on appelle a', b'y c' les longueurs des trois rayons OD, OE,,OF, d'après le raisonnement qui a été fait précédemment (n° 493), l'équation de l'ellipsoïde se mettra sous la forme

a'2 ^ b'2 ^ c'2 On en conclut que les trois axes des coordonnées forment un système de diamètres conjugués, ou, ce qui revient au même,

que les trois plans des coordonnées forment un système de plans diamétraux conjugués.

On voit bien, à l'aide de cette équation, comment varient les sections parallèles; si Ton coupe la surface par un plan parallèle au plan diamétral YOZ', on a une ellipse

homothétique à l'ellipse diamétrale EOF et ayant son centre au point I sur le diamètre OD ; cette ellipse va en diminuant à mesure que le plan sécant s'éloigne du plan diamétral; elle se réduit au point D quand le plan sécant passe par ce point, et alors le plan est tangent à la surface; au delà, le plan ne rencontre plus la surface; en d'autres termes, il la coupe suivant une ellipse imaginaire, dont le centre est réel et situé sur le prolongement de OD. Il en est de même de l'autre côté.

Quand l'ellipsoïde est rapporté à ses axes, les relations qui existent entre les coefficients de trois diamètres conjugués (n° 496) se simplifient et deviennent

Elles ont aussi la même forme quand l'ellipsoïde est rapporté à un système quelconque de diamètres conjugués.

Considérons deux systèmes de diamètres conjugués ODEP, OD'E'F'(fig. 295). Soit OG le diamètre suivant lequel se coupent les deux plans EOF, E'OF', OH et OH/ les dia- V* mètres conjugués de OG dans ces deux plans. Si, conservant OD, on remplace les diamètres conjugués OE, OF par Fig.v1tt5. * deux autres diamètres conjugués OG,

OH de la même ellipse, la somme des carrés ne change pas;