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de même, si, conservant OD', on remplace les deux diamètres conjugués OE', OF' par deux autres diamètres conjugués OG, Oir delà même ellipse, la somme des carrés ne change pas. On a alors deux systèmes de diamètres conjugués OGHD, OGH'D', qui ont un diamètre commun OG; les deux autres, étant situés dans le plan diamétral conjugué de OG, appartiennent à la même ellipse; donc la somme des carrés est la même. Ainsi, la somme des carrés de trots diamètres conjugués est constante, et, par conséquent, égale à la somme des carrés des axes. On démontre de la même manière que le volume du parailélipipède construit sur trois diamètres conjugués est constant; lorsqu'on remplace le système ODEF par le système ODGH, le volume ne change pas ; car les deux parallélipipèdes ont des bases équivalentes, les parallélogrammes EOF, GOH, et même hauteur, la perpendiculaire abaissée du point D sur le plan des bases.

£>1G. On peut démontrer ces théorèmes par une méthode analogue à celle du n° 509.

Imaginons l'ellipsoïde rapporté d'abord à ses axes, puis à un système de diamètres conjugués faisant entre eux des angles X, (x, v. Par les formules de transformation des coordonnées, le trinôme

se change en

De même le trinôme devient

œ2 ]£ zÀ ô5 + b2 + c2

#'2 | y'2 } z'2 | 2y'z' cos \ | 2Z'X< cos ^ { 2a>y C09 v.

il en résulte que le polynôme homogène ou

dans lequel k désigne une constante arbitraire, se transforme en

œ'2 y'fl zf2 j

-r+ T7ô + ~r2 — 7 {œ'2-\-y'2-{-z'2 + 2y'zf cos X-f o.z'œ' cos y.+ 2x'y' cos v),

tt O C /v