CHANGEMENT DE LA DIRECTION DES AXES
80. Supposons maintenant que Ton change la direction des axes en conservant la même origine. Nous traiterons d'abord un cas particulier qui se présente souvent dans la pratique, celui où les axes des deux systèmes sont rectangulaires. Imaginons que l'on change la direction des axes en faisant tourner l'angle droit XOY (flg. 33) Fig-33- d'un certain angle a autour de l'ori-
gine, pour l'amener dans la position X'OY', et considérons l'angle a comme positif, si la rotation s'effectue de OX vers OY, comme négatif si la rotation s'exécute en sens inverse.
Par un point quelconque M du plan menons des parallèles MP et MP' aux axes 0 Y et 0 Y7 ; désignons par x et y les coordonnées du point M relatives aux premiers axes, et par x' et y' les coordonnées du même point relatives aux nouveaux axes. Les projections des deux chemins OPM, OP'M sur un axe quelconque sont égales. Projetons ces deux chemins d'abord sur l'axe OX ; la projection de la longueur OP est cette longueur elle-même, affectée du signe + ou du signe — , suivant qu'elle est portée dans la direction OX, ou dans la direction opposée ; c'est, dans tous les cas, l'abscisse x\ PM étant perpendiculaire sur OX, sa projection est nulle; la projection du premier chemin se réduit donc kx. Projetons maintenant le chemin OP'M; et d'abord projetons le premier côté OP'; si la longueur OP' est portée sur OX', il faut la multiplier par cos a, ce qui donne la projection OP' X cos a ; si cette longueur est portée en .sens inverse, il faut la multiplier par cos (a+«), ce qui donne
OP' X cos (a -(-tu) ou — OP' X cos a; mais, dans le premier cas, on a#'=OP', dans le second cas#' = — OP': ainsi la projection du côté OP' est toujours exprimée par a/cosa. Considérons le second côté P'M ; s'il est dirigé dans le sens
OY', il fait avec OX l'angle a + -, et sa projection est
P'M X cos ( a -f- - J ; s'il est dirigé en sens inverse, il fait avec
OX l'angle a -| }- tt, et sa proj ection est — P'M X cos ( a -j — h
mais on a, dans le premier cas y'=P'M, dans le second cas y'= — P'M ; ainsi, la projection de P'M est toujours exprimée
par y' cos ( a + - j . Il en résulte que le chemin OP'M a pour
projection x' cos a -(- y' cos f a -j- - J , ou x' cos a — y' sin a. En
égalant les projections des deux chemins OPM, OP'M, on obtient la relation x=xr cos a — y' sin a.
Projetons ensuite les deux chemins sur l'axe OY. La projection de OP est nulle; celle de PM, affectée du signe convenable, est y; ainsi la projection du premier chemin se réduit à y. Les deux directions OX' et OY' font avec OY les angles
— ^j-a et a, ce qui donne pour la projection du second che-
min x' cos ( h a ) + 2/' cos a> ou x' s'm a 4~ \f cos a> e* l'on
a la relation y = x' sin *-\-y' cos a. On obtient ainsi les formules (3) x =: x' cos a — y' sin a , y' = x' sin a -f- y' cos a,
qui expriment les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.
SI. Occupons-nous maintenant de la question générale. Soient OX et OY deux axes quelconques faisant entre eux un angle 6, OX' et OY' deux nouveaux axes dont on définit les directions par les angles a et p qu'ils font avec OX [fig. 34); on convient de regarder les angles a et p comme positifs, quand une droite mobile, partant de la position OX, les décrit en tournant de OX vers OY, et
comme négatifs, quand la droite tourne en sens contraire. Par un point M quelconque du plan menons les droites MP et MP' respectivement parallèles aux axes OY et OY'.
Pour avoir x, nous projetterons les *' deux chemins OPM, OP'M sur une f direction OH perpendiculaire à OY, \ et telle qu'une droite, partant de la
xx position OY, tourne d'un angle égal à
Fi 34 - de OY vers OX, pour arriver a la
position OH. La direction OX faisant avec OH l'angle 0,
et la direction OY étant perpendiculaire à OH, la projection du premier chemin se réduit à x sin ô. La direction OX' fait avec OH un angle égal à l'angle HOX, augmenté
de l'angle XOX', ce qui fait (- — 0 J + ct; de même, la direction OY' fait avec OH un angle égal à ( 0 j -|-p; on a donc
pour la projection du second chemin
a/cos(- — ô + oA + y' cosp — 6 + pV
ou xf sin (8 — a) + y' sin (ô — p),
ce qui donne la relation
a? sin 6= a?' sin (0 — a ) -f- y' sin ( 0 — p). Pour avoir y, projetons les deux chemins OPM,OP'M sur une direction OK perpendiculaire à OX, et telle qu'une droite,
partant de la position OX, tourne d'un angle égal à - de OX
vers OY, pour arriver à la position OK. La direction OX étant perpendiculaire à OK et la direction OY faisant avec cette
droite l'angle j-ô, la projection du premier chemin se
réduit à y sin ô. Les angles que les directions OX' et OY' font avec OK sont égaux aux angles qu'elles font avec OX, diminués
de -,• ce qui donne [-a, et f-p;' la projection du
second chemin est donc x' cos ( 1- a J -\- y' cos ( h P ) »
ou x' sin a + y' sin p, et Ton a la relation
y' sin 0 = x' sin a -f- y' sin p.
On obtient ainsi les deux formules
! a?' sin (8 — a) -f y' sin (6 — p) sin 6 , a?' sin a + y' sin p V ; 9 u sin 6
pour la transformation des coordonnées obliques en d'autres coordonnées obliques.
On en déduit facilement des formules servant à revenir des nouveaux axes aux anciens. L'angle des nouveaux axes est p — a; les axes OX et OYfont avec OX; les angles — a et — a+0 ; il suffit donc, dans les formules précédentes, de remplacer 8 par p — a, a par — a, p par 8 — a, ce qui donne
/ , x sin p + y sin (p — 0)
| "~ sin(p — a)
j , — x sin a 4- y sin (ô — a)
' y ~~ sin(p — a)
Appelons 8' l'angle des nouveaux axes 8'=p — a ; alors le déterminant des coefficients de x' et y' dans les formules (4) est
sin S sin (ô — a) — sin a sin (0 — p) sin 0'
sin2 Ô sin 0 '
et le déterminant des coefficients de x et y clans les formules (5)
, ,,. , , , , , sin 0
est 1 inverse du précèdent - — -> • r sin ô'
52. Les formules générales donnent quelques formules particulières qu'il est bon de connaître.
i° Cas ou les axes primitifs sont rectangulaires. Dans ce cas
on a 0 =-, et les formules (4) se réduisent à
,„. ( # = #'cosa-f-y'cosp,
( y=r#'sin oc -f- y' sin p.
a0 Cas où les nouveaux axes sont rectangulaires. Supposons P = <*-}--, les formules (4) deviennent
xf sin (6 — a) — y' cos (0 — a)
(7) \ x~ ~iïïri '
' x' sin a 4- y' cos a * sin Ô On pourrait supposer aussi p = a , ce qui revient à
changer le sens de Taxe OY', et, par conséquent, le signe de y' dans les formules (7).
3° Cas oh les deux systèmes d'axes sont rectangulaires. Si,
dans les formules (6), on suppose p = a-f--, on obtient les
formules (3) déjà trouvées, ,. i x=xr cos a — y' sin a,
[y —x sin a-f-y cos a.
On les obtiendrait aussi en supposant dans les formules (7)
