COS X , . 2 COS UL , , 2 COS V
Les valeurs de &, pour lesquelles l'un des polynômes (9) ou (10) se réduit à une somme de deux carrés, étant les mêmes, leè deux équations
\â2 ~ k) [b2 "" k J \& ~~ k)= ° ' ou
(h) (ft — a2)(& — 62)(& — c2) = o,
et
\a'2 fc) V5'2 k) \c'2 ft)
2 COS X COS pi cos v
/i i\ cos2X / 1 i\ cos2 (i /i i\cos2v
(12) /c3 — (a,a+6,2+c'2)*2 + (6,2c,2sin2X+c'V2siiiV+a/26,asiiiav}*
ont les mêmes racines; il en résulte que les racines de l'équation (12) sont égales respectivement à a2, 62, c2; on en déduit les trois relations
(il) a'2+ ô'2 + c2=a2 + 62+ c2,
(i4) 6'2e'2sm2X + c'2 a'2 sin2 ^ + a'26'2sin2v = 62c2+ c*a?+ a2ô2,
(i5) o'26'2c'2û = a2oaca.
La pi-emière indique que la somme des carrés des trois diamètres conjugués est constante; d'après la signification de la quantité O (u° 419), la troisième indique que le volume du parallélipipède construit sur les trois diamètres conjugués est constant; la seconde exprime que ia somme des carrés des faces de ce parallélipipède est constante.
517. Parmi les sections planes de l'ellipsoïde, il importe d'examiner en particulier les sections circulaires.
Supposons qu'une série de plans parallèles coupent l'ellipsoïde suivant des cercles et considérons le diamètre correspondant. Le plan mené par ce diamètre perpendiculairement aux plans parallèles, divisant chacun des cercles en deux parties symétriques par rapport à ce plan même, est un plan principal de l'ellipsoïde. Ainsi, les plans des sections circulaires sont perpendiculaires à un plan principal, et par conséquent les plans diamétraux qui coupent l'ellipsoïde suivant des cercles passent par l'un des axes de la surface. Cet axe est l'axe moyen BB7 de l'ellipsoïde; car nous avons vu (n° 5 12) que, lorsque le plan sécant passe par le grand axe A A', les deux axes de l'ellipse diffèrent nécessairement; il en est de même quand le plan sécant passe par le petit axe CC'.
Lorsque le plan sécant passe par l'axe moyen BB7, les deux axes de l'ellipse d'intersection sont l'axe BB7 et le diamètre DD7 suivant lequel le plan sécant coupe l'ellipse principale
ACA7 (flg. 296). La longueur de ce diamètre DD7, variant de CC'à AA', pourra être égale à BB7, et alors la section sera un cercle. Du point 0 comme centre, avec un rayon égal à b et dans le plan principal ACA7, Fig/296. décrivons un arc de cercle qui cou-
pera l'ellipse principale en D et E; menons les diamètres OD et OE; les deux plans diamétraux BOD, BOE couperont l'ellipsoïde suivant des cercles. On conclut de là que t ellipsoïde à trois axes inégaux admet deux séries de sections circulaires.
Quand l'ellipsoïde est de révolution, les deux plans BOD,BOE se confondent avec le plan principal perpendiculaire à l'axe de révolution, c'est-à-dire avec l'équateur de la surface. On n'a plus alors qu'une série de sections circulaires.
On peut résoudre la question par l'analyse. Considérons la courbe d'intersection de l'ellipsoïde
et d'une sphère concentrique
(17) gi 1-0.
L'équation
^ (?-è>,+(^-5îy+(?-è>-0'
que Ton obtient en retranchant ces deux équations membre à membre, représente un cône passant par la ligne d'intersection de l'ellipsoïde et de la sphère. Lorsque la condition
(,9) {à ~ sO (i ~è){?~è)=0
est satisfaite, le premier membre de l'équation (18) est la somme de deux carrés, ou le produit de deux facteurs du premier degré, et par conséquent le cône se réduit à deux plans. Cette condition indique que le rayon de la sphère est égal à l'un des axes de l'ellipsoïde. On obtient ainsi six plans cycliques, mais deux seulement sont réels ; ce sont ceux qui correspondent à la solution R2 = b2, et qui sont représentés par l'équation
Nous verrons plus tard (n° 587) que cette méthode donne bien tous les plans cycliques,
