AXES D'UNE SECTION PLANE

5 17 bis. Considérons un plan

(P) ux -J- vy -{- wz == o

passant par le centre O de l'ellipsoïde, appelons x', y\ z, les coordonnées d'un sommet M/ de la section faite par ce plan dans la surface et R la longueur de l'axe OM'. La sphère représentée par l'équation (17) coupe le plan (P) suivant un

cercle bitangent à la section plane : donc ie cône (18) passant par l'intersection de cette sphère et de l'ellipsoïde, est tangent au plan (P) le long de la génératrice OM'. Pour exprimer cette condition, identifions l'équation du plan tangent au cône en M'

avec celle du plan (P) ; nous aurons

dJoù, en portant ces valeurs de x', y', z' dans l'équation w#'-jvy' -\-wzf = o qui exprime que le point M' est dans le plan (P),

u2 , v2 tv2

équation du second degré en R2 qui admet pour racines les carrés des longueurs des axes de la section plane R2 = a'2, R2 = ô'2. Les équations (A) dans lesquelles on remplace R2 successivement par ces racines o!% et £'% et x'9 y', z' par des coordonnées courantes seront les équations des axes de la section plane.

Application. Chercher le lieu des points obtenus en portant, sur la perpendiculaire élevée en O au pian de chaque section diamétrale, des longueurs égales aux axes de cette section. Ce lieu qui est une surface du quatrième ordre coupée par chacun des plans de coordonnées suivant deux coniques s'appelle surface des ondes.