Si le terme constant H est nul, l'équation
étant homogène par rapport à x, y, z, représente un cône (n° 464). Si l'on pose
ta
ang a= y -g- ,
l'équation prend la forme
tang p
tan g2 a tang2p Le pian principal XOZ coupe la surface suivant deux droites OA, OA' faisant avec OZ un angle égal à a, le plan principal YOZ suivant deux droites OB, OB' faisant avec OZ un angle égal à p (fig. 297). Le plan principal XOY coupe la surface en un seul point 0. Tout plan parallèle au plan XOY donne une ellipse ABA' ayant pour équation
tang2 a ' tang2 p f Fig. 297. cette ellipse, qui a son centre I sur l'axe
OZ, augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s'éloigne du sommet. Ainsi, on peut regarderie cône comme en-
gendre par une droite OM, qui tourne autour du point 0 ea glissant sur l'ellipse ABA'. En supposant S plus grand qu3 S' et par conséquent a plus petit que p, on voit que l'angle que fait la génératrice OM avec l'axe OZ croît de a à p. Le cône est formé de deux nappes égales situées de part et d'autre du sommet. L'équation (les cônes du second degré se ramenant à la forme (1), il en résulte que tout cône du second degré peut être considéré comme un cône droit à base elliptique.
Les plans perpendiculaires à chacun des deux autres axes OX et OY coupent le cône suivant des hyperboles ayant leurs centres sur ces axes. Les trois axes des coordonnées sont des axes du cône ; OZ est situé à l'intérieur du cône, les deux autres à l'extérieur. Par rapport à chacun de ceux-ci, un point quelconque du cône a son symétrique sur l'autre nappe ; par rapport au premier, un point a son symétrique sur la même nappe.
Lorsqu'on a S = S', ou a = p, le cône est de révolution autour de la droite OZ.
HYPERBOLOIDE A UNE NAPPE.
520. Supposons que le terme constant H ait une valeur négative et posons
e=V ïr> b=y ït' C=V &•
l'équation de la surface prendra la forme
xA y* z*
Ilg, 29g.
Le plan principal XOY coupe la surface suivant une ellipse ABA' (fig. 298); le plan principal XOZ suivant une hyperbole dont A' A est l'axe transverse et OZ l'axe imaginaire ; le plan principal YOZ coupe de même la surface suivant une hyperbole dont BB'estl'axe transverse et OZ l'axe imaginaire. Si Ton coupe
DES HYPERBOLOIDES. G23
la surface par des plans parallèles au plan XOY, on a des ellipses homothétiques
qui ont leurs centres sur OZ, et qui vont en augmentant indéfiniment, à mesure que le plan sécant s'éloigne du plan principal, d'un côté ou de l'autre ; l'ellipse minimum ABA', déterminée par le plan principal, s'appelle ellipse de gorge. On voit par là que la surface est formée d'une seule nappe continue qui s'étend indéfiniment, en s'ouvrant de plus en plus de chaque côté du plan de l'ellipse de gorge. On a donné à cette surface le nom fthyperboloïde à une nappe.
Les plans parallèles au plan XOZ coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur OY ; de même, les plans parallèles au plan YOZ coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur OX; il résulte de là que l'hyperboloïde à une nappe admet trois axes, deux réels AA', BB', un imaginaire OZ. Les deux axes réels sont les axes de l'ellipse de gorge; l'axe imaginaire OZ est situé à l'intérieur de la surface.
Lorsque les deux axes réels deviennent égaux, les sections parallèles au plan XOY étant des cercles, la surface est de révolution ; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe imaginaire OZ.
