HYPERBOLOÏDE A DEUX NAPPES

a=Vs' b==V I'

521. Examinons enfin le cas où le terme constant H a une valeur positive ; si Ton pose

S" ' l'équation prend la forme

Les deux plans principaux XOZ, YOZ coupent la surface suivant

des hyperboles dont l'axe transverse CC a une longueur égale à ic et est dirigé suivant OZ (fig. 099). Le plan principal XOY ne rencontre pas la surface. La section faite par un plan parallèle au plan XOY est une ellipse

mais cette ellipse n'est réelle que si la valeur absolue de z est plus grande que c ; si donc par chacun des points C et C on mène un plan parallèle au plan XOY, il n'y aura aucun point du lieu situé entre ces deux plans. Si le plan sécant s'éloigne à partir du point C, l'ellipse, qui est d'abord réduite à un point, augmente indéfiniment; et de même ie l'autre côté, à partir du point C On voit par là que îa surface se compose de deux nappes infinies et séparées l'une de l'autre ; on lui a donné le nom àHiyperboloïde à deux nappes. La surface a trois axes, un réel CC", deux imaginaires OX et OY. Quand les deux axes imaginaires 2a et 2 b deviennent égaux, la surface est de révolution ; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe transverse CC.

CONE ASYMPTOTE.

822. On dit que deux hyperboloïdes sont conjugués lorsqu'ils ont même centre et mêmes axes en grandeur et en direction, et que les axes réels de l'un sont imaginaires dans l'autre ; il est clair que les équations

représentent deux hyperboloïdes conjugués. Un plan sécant mené par vaxe OZ coupe ces deux surfaces suivant des hyperboles ; l'hyperbole située sur l'hyperboloïde à deux nappes a pour axe transverse CC ; celle qui est située sur l'hyper-

DES HYPERBOLOIDES. 625

boloïde â une nappe a pour axe transverse le diamètre suivant lequel le plan sécant coupe l'ellipse de gorge. Soit y=mx l'équation du plan sécant; l'équation

provenant de l'élimination de y, donne les proj ections des courbes d'intersection sur le plan XOZ ; ces courbes projections sont des hyperboles conjuguées, ayant pour asymptotes communes les deux droites représentées par l'équation

Fig. 300.

Si5 à cette équation, on joint celle du plan sécant y = mx, on aura les asymptotes des hyperboles dans l'espace. Imaginons actuellement que le plan sécant tourne autour de l'axe OZ ; ces asymptotes décriront un cône que nous appellerons cône asymptote des hyperboloïcles ; on obtient son équation en éliminant le paramètre variable m entre les deux équations précédentes, ce qui donne

Ainsi, les deux hyperboloïdes conjugués ont même cône asymp ♦ tote. L'hyperboloïde à deux nappes est situé à l'intérieur du cône, l'hyperboloïde aune nappe à l'extérieur (fig. 3oo).

523. Plus généralement, le cône asymptote est le lieu des asymptotes de toutes les hyperboles que l'on obtient en coupant les deux surfaces par des plans passant par le centre. En effet, soit z=mx-\-ny l'équation du plan sécant; les courbes d'intersection ont pour projections sur le plan XOY x2 y2 (mx -\- ny)2

les asymptotes sont représentées par l'équation

(mx -\-ny)2

GEOM. ANALYT.

jointe à celle du plan sécant. Il arrive ici que Ton peut éliminer à la fois les deux paramètres variables m et n entre ces équations, ce qui reproduit le cône asymptote

Nous ferons remarquer que, lorsqu'un hyperboloïde est rapporté à ses axes, si dans l'équation on supprime le terme constant, on obtient le cône asymptote, et que, si l'on change le signe de ce terme constant, on obtient l'hyperboloïde conjugué. Il est clair, d'après les formules de transformation des coordonnées, que la même propriété a lieu quand la surface est rapportée à des axes de coordonnées quelconques passant par le centre.

$24. Considérons les surfaces représentées par l'équation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire. On a deux hyperboloïdes conjugués et leur cône asymptote, quand on attribue au paramètre X les valeurs db i ou la valeur o. Si l'on coupe ces surfaces par un même plan

A# + By + Cs = Z,

lés projections des courbes d'intersection sur le plan XOY ont pour équation

x2 y2 (l-Ax-By)*

le paramètre X n'entrant que dans le terme constant, il en résulte que les courbes projections, et, par suite, les courbes dans l'espace, sont homothétiques ; car ce sont les intersections de cylindres homothétiques par des plans parallèles (n° 483) ; elles sont en outre concentriques, si elles ont un centre ; quand ce sont des paraboles, elles ont même paramètre, et par conséquent sont égales.

82$. Il résulte de là que, pour reconnaître l'espèce de la

DES HYPERBOLOIDES. 621

section d'un hyperboloïde par un plan P, il suffît d'étudier la section du cône asymptote par le plan. On sait d'ailleurs que les sections parallèles sont homothé tiques.

Par le centre, menons un plan P' parallèle au point P ; il y a trois cas à distinguer. 1 ° Si le plan P' ne coupe le cône qu'en un seulpoint, les deux nappes du cône sont situées, l'une d'un côté de ce plan, la seconde de l'autre côté ; il est clair que le plan parallèle P coupera toutes les droites d'une même nappe, et, par conséquent, déterminera sur le cône une courbe fermée qui sera une ellipse ; les sections faites par ce même plan dans les hypei boloïdes seront aussi des ellipses. 20 Si le plan P' coupe le cône suivant deux droites, il partage chacune des nappes en deux parties situées de part et d'autre de ce plan ; le plan parallèle P rencontrera la partie de chacune des nappes qui est du même côté du plan P' que le plan P, et, par conséquent, coupera le cône suivant deux branches séparées, constituant une hyperbole. Si une génératrice du cône se rapproche de l'une des génératrices situées dans le plan P', elle devient parallèle au plan P, et le point d'intersection s'éloigne à l'infini ; l'hyperbole a donc ses asymptotes parallèles aux droites situées dans le plan P'. 3° Enfin, si le plan P' est tangent au cône asymptote, l'une des nappes du cône est située tout entière d'un côté de ce plan, l'autre nappe de l'autre côté, excepté l'arête de contact, qui est dans le plan ; le plan parallèle P ne rencontrera que la nappe qui est du même côté du plan P' que le plan P, et la coupera suivant une branche infinie, et, par conséquent, suivant une parabole.

Nous examinerons plus tard en détail les diverses variétés que présentent ces courbes, et leur déformation quand on fait mouvoir le plan sécant.

PLANS DIAMETRAUX ET DIAMETRES.

826. Si l'on considère les surfaces représentées par l'équation (4), le plan diamétral conjugué de la droite

ce p f

a pour équation

a2 b2 c2 Ce plan est le même dans les deux hyperboloïdes et dans le cône asymptote. On pourrait d'ailleurs le reconnaître à priori. En effet, considérons une sécante qui rencontre le cône en deux points ; le plan mené par cette sécante et le centre coupe le cône suivant les asymptotes des hyperboles déterminées par ce plan dans les hyperboloïdes ; les portions de cette sécante comprises entre les hyperboles et les asymptotes étant égales (n° 192), il en résulte que les cordes ont le même point milieu.

527. L'espèce de la section déterminée par le plan diamétral dépend de la direction des cordes. Par le centre, menons une parallèle aux cordes ; si cette droite est située à Tintérieur du cône asymptote, il est évident que chaque sécante rencontre les deux nappes du cône et que, par conséquent, le point milieu est entre les deux nappes ; le plan diamétral, ayant tous ses points entre les deux nappes, coupe le cône suivant un point. L'hyperboloïde aune nappe, étant situé à l'extérieur du cône asymptote, sera coupé par le plan diamétral suivant une ellipse réelle ; cette ellipse est la courbe de contact d'un cylindre ayant ses génératrices parallèles aux sécantes et circonscrit a l'hyperboloïde ; ce cylindre est situé à l'intérieur de l'hyperboloïde. L'hyperboloïde à deux nappes étant situé, au contraire, à l'intérieur du cône asymptote, le plan diamétral ne rencontre pas la surface ; aucune des sécantes nedevient tangente, et il n'existe pas de cylindre circonscrit dans cette direction.

Si la droite, menée par le centre, est située à l'extérieur du cône asymptote, une parallèle rencontrant le cône percera une même nappe en deux points, et, par conséquent, le point milieu sera situé à l'intérieur du cône ; le plan diamétral, pénétrant à l'intérieur du cône, coupera ce cône suivant deux droites, et, par conséquent, les hyperboloïdes suivant des hyperboles conjuguées. Chacune de ces hyperboles sera l'a courbe de contact d'un cylindre circonscrit ayant ses arêtes parallèles à la direction donnée.

DES HYPERBOLQIDES. G29

823. Il est un cas où il n'y a plus de plan diamétral ; c'est lorsque la droite menée par le centre appartient au côae asymptote ; dans ce cas, toute parallèle ne rencontre la surface qu'en un point, et le point milieu est à l'infini. Cependant l'équation (6) représente encore un plan passant par le centre ; c'est la position limite vers laquelle tend le plan diamétral, quand la droite (5) se rapproche de plus en plus du cône. Le plan tangent au cône au point (x, y, z) a pour équation

si le point de contact appartient à la droite (5), cette équation devient

a2 ~*~ b2 c2~°; c'est l'équation (6) ; ainsi, quand les sécantes deviennent parallèles à une arête du cône asymptote, le plan (6) coïncide avec le plan tangent au cône suivant cette arête.

629. Les sections faites dans les hyperboloïdes et dans le cône asymptote par un même plan étant concentriques, le lieu des centres des sections parallèles est le même dans les hyperboloïdes et dans le cône ; or il est évident, à cause de la similitude, que dans le cône ce lieu est une droite passant par le sommet du cône.

Lorsque les sections sont des ellipses, le lieu des centres, ou le diamètre, étant situé à l'intérieur du cône, rencontre l'hyperboloïde à deux nappes, mais ne rencontre pas l'hyperboloïde à une nappe. Lorsque les sections sont des hyperboles, le diamètre, étant à l'extérieur du cône, rencontre, au contraire, l'hyperboloïde à une nappe, et ne rencontre pas l'hyperboloïde à deux nappes.

On obtient un système de trois diamètres conjugués de l'hyperboloïde à une nappe en prenant un diamètre quelconque, et, dans le plan diamétral conjugué, deux diamètres conjugués de la section. Il est aisé de voir que, de ces trois diamètres conjugués, deux OD, OE sont réels, un OF imaginaire. En effet, si le premier diamètre est réel, le plan diamé-

tral, comme nous l'avons dit (n° 527), coupe la surface suivant une hyperbole, dans laquelle un second diamètre sera réel, le troisième imaginaire. Si, au contraire, le premier diamètre est imaginaire, le plan diamétral conjugué coupe la surface suivant une ellipse réelle, dans laquelle deux diamètres conjugués sont réels. L'équation de la surface rapportée à ces diamètres conjugués prend la forme

Deuxhyperboloïdes conjugués, ayant le même diamètre pour la même série de plans sécants, admettent les mêmes systèmes de diamètres conjugués ; seulement, un diamètre, réel dans l'un, est imaginaire dans l'autre, de sorte que, dans l'hyperboloïde à deux nappes, de trois diamètres conjugués, deux sont imaginaires et un réel.

Pour former un système de diamètres conjugués, nous avons mené par le centre une première droite arbitrairement ; il faut, toutefois, que cette droite n'appartienne pas au cône asymptote.

530. Il nous est facile maintenant de compléter Tétude des sections planes des hyperboloïdes. Imaginons la surface rapportée à un système de plans diamétraux conjugués dont l'un soit parallèle au plan sécant; l'équation prendra la forme

a2-rï>2 C>2 *•

Considérons d'abord l'hyperboloïde à une nappe. Si le plan sécant est parallèle au plan DOE, la section est une ellipse

toujours réelle, dont le centre est sur le diamètre imaginaire OF, et qui augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s'éloigne du plan diamétral, d'un côté ou de l'autre. Si le plan sécant est parallèle au plan EOF, la section est une hyperbole

l/2~~72=l~~ïï2 dont le centre est situé sur le diamètre réel OD, et dont les asymptotes sont parallèles à celles de l'hyperbole déterminée

DES HYPERBOLOIDES. G31

par le plan diamétral x = o ; cette hyperbole admet'aussi deux diamètres conjugués respectivement parallèles àOE et à OF. Quand x varie de o à a', le diamètre réel est parallèle à OE, et diminue do V à o ; pour x = a\ l'hyperbole se réduit à deux droites passant par le point D, et le plan devient tangent à la surface au point D ; quand x croît ensuite à partir de a', le diamètre réel est au contraire parallèle à OF et augmente de zéro à l'infini; l'hyperbole a changé de disposition ; d'abord située dans les angles des asymptotes qui comprennent le diamètre OE, elle a passé dans les angles supplémentaires. La transition s'opère par le système des deux droites.

#31. Considérons maintenant l'hyperboloïde à deux nappes. Les sections parallèles au plan DOE sent des ellipses

+ fr2 = ^-i>

dont les centres sont situés sur le diamètre réel OF ; quand z varie de o à c', l'ellipse est imaginaire ; pour z = c\ elle se réduit à un point; quand z croît à partir de c', l'ellipse devient réelle et augmente indéfiniment. Les sections parallèles au plan EOF sont des hyperboles

dont le diamètre réel est toujours parallèle à OF et augmente indéfiniment. L'hyperbole conserve la même disposition.

532. Nous n'avons parlé jusqu'à présent que des sections elliptiques ou hyperboliques. La transformation précédente ne peut plus être effectuée, lorsque le plan sécant est parallèle à un plan tangent au cône asymptote ; dans ce cas, la section est une parabole, égale à celle que détermine le plan sécant sur le cône asymptote, et il est évident, d'après la similitude, que le paramètre de la parabole tracée sur le cône par le plan sécant augmente proportionnellement à la distance de ce plan au centre.

Pour étudier la position de la .courbe, nous nous servirons d'une autre forme très-simple, sous laquelle on peut mettre réauation de l'hyperboloïde. Prenons pour axe des y l'arête

suivant laquelle le plan tangent au cône asymptote touche ce cône (fig, 3oo), pour axe des z une autre arête du cône asymptote, et pour axe des x le diamètre conjugué du plan YOZ ; l'équation des hyperboloïdes se réduira à la forme

(7) Aa» + Byz = ±i;

car elle ne doit pas contenir de terme du premier degré en x, et, lorsqu'on y fait x = o, on doit obtenir l'équation d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes. On peut toujours supposer les deux constantes A et B positives. La surface estunhyperboloïde à une nappe ou à deux nappes, suivant que le second membre est positif ou négatif, puisque le plan z = o coupe la surface dans le premier cas et ne la rencontre pas dans le second cas. Les sections des deux surfaces par le plan YOZ sont des hyperboles conjuguées. L'équation du cône asymptote est Ax2 -\- Byz = o ;

elle montre que les plans XOY, XOZ sont tangents au cône suivant les arêtes O Y et OZ. Sila surface est un hyperboloïde à une nappe, elle est coupée par le plan z = o, suivant deux droites AB, A'B' parallèles à OY (fig. 3oi) ; tout plan parallèle z=YCOupela surface suivantune parabole Ax2 -}- Byy= 1, qui a pour diamètre la trace CD du plan sécant sur le plan YOZ. L'extrémité C de ce diamètre appartient à l'hyperbole GH,

Fig. 301. Fig. 302.

GH', suivant laquelle le plan YOZ coupe la surface. La direction du diamètre change avec le signe de y- Les sections

DES HYPERBOLOIDES.

faites dans l'hyperboloïde à une nappe par les plans z~±y ont la disposition [indiquée sur la fig. 3oi. Quand les deux plans sécants se rapprochent du plan XOY, les points G et C s'éloignent indéfiniment sur les branches d'hyperbole CG, C'G', et les deux paraboles tendent vers le système des deux droites parallèles AB, A'B'.

Si la surface est un hyperboloïde à deux nappes, le plan z = o ne rencontre pas la surface, et les deux paraboles données par les plans z=±y ont la disposition indiquée par la figure 3o2. Quand y tend vers zéro, les deux paraboles s'éloignent à l'infini.

S33. Considérons d'abord l'hyperboloïde à une nappe. D'après les raisonnements qui ont été faits à propos de l'ellipsoïde (n° 517), on reconnaît qu'un plan diamétral, qui coupe l'hyperboloïde suivant un cercle, doitpasser par l'un des axes réels de la surface.

Lorsqu'un plan AOD (fig. 3o3), mené par l'axe OA, coupe la

surface suivantune ellipse, l'un des axes de l'ellipse est OA, l'autre la trace OD du plan sécant sur le plan YOZ ; mais la longueur de OD est plus grande que OB; pour que ODsoit égal à OA, il est nécessaire que OA soit plus grand que OB.

Ainsi, le plan sécant passera par le plus grand axe OA de l'ellipse de gorge.

Du point 0 comme centre, avec OA pour rayon, décrivons dans le plan YOZ un cercle qui coupera l'hyperbole en deux points D, D'; les deux plans AOD, AOD' couperont l'hyperboloïde suivant des cercles.

Tout plan parallèle à l'un de ces plans coupera suivant des cercles l'hyperboloïde proposé, le cône asymptote et l'hyper*

Fier. 303.

boloïde conjugué. Lorsque la surface est de révolution, les deux séries de sections circulaires se confondent et deviennent perpendiculaires à l'axe de rotation.

L'équation

du cône peut être mise sous la forme

? +\b* a*)y Vc2 + a2JZ-°-

Elle signifie que le produit des sinus des angles que fait une arête quelconque du cône avec les deux plans cycliques

\b2 a*)J \c2~a2J est constant.

Si l'on prend pour plans des zx et des zy les deux plans cycliques et pour plan des xy un plan quelconque coupant le. cône suivant deux arêtes omy om', l'équation du cône prend la forme

x* + y* + z'2 + 2VZ cos ^ + 2ZX cos f* + %B"xy = o, X et u. désignant les angles yoz, xoz. La trace du cône sur le plan xoy est définie par l'équation

x*-\-y2 + 2B/,xy = o.

Le produit des coefficients angulaires des deux droites om, orri étant égal à l'unité, on en conclut qu'elles font respectivement avec ox et oy des angles égaux. Ainsi, lorsqu'un plan sécant mené par le centre coupe le cône suivant deux arêtes, ces arêtes font des angles égaux avec les traces du plan sécant sur les nlans cycliques. Quand le plan devient tangent, l'arête de contact fait des angles égaux avec les traces du plan tangent sur les plans cycliques.

534. Il résulte de ce qui précède que tout cône du second degré peut être considéré, de deux manières différentes, comme un cône oblique à base circulaire. Lorsqu'on considère un cône circulaire oblique, les plans parallèles à la base donnent une première série de sections circulaires; il est facile de démontrer géométriquement l'existence d'une

DES HYPERBOLOIDES. 635

seconde série de sections circulaires. Soit S le sommet d'un

cône oblique ayant pour base le cercle AB (fi g. 3o4) ; par fa droite SO, qui va du sommet au centre 0 de la base, menons un plan ASB perpendiculaire au plan de la base ; tout plan parallèle à la base coupant le cône suivant un cercle qui a pour diamètre la trace du plan sécant sur Fis- m- le plan ASB, il en résulte que ce

plan ASB divise le cône en deux parties symétriques; c'est donc un plan principal et le système des deux droites SA et SB est la section principale correspondante. Dans le plan principal ASB menons la ligne B'A' anti-parallèle à AB, c'està-dire telle que l'angle SA'B' soit égal à SAB; puis, par la droite A'B', faisons passer un plan perpendiculaire au plan principal ASB; la section du cône par ce plan sera un cercle B'HA'. En effet, par un point quelconque H de la courbe B'HA' menons un plan parallèle à la base; ce plan coupe le cône suivant un cercle, et le plan B'HA' suivant une ligne HI perpendiculaire à la section principale. Dans le cercle DHE on a HI2 = DI X IE. D'autre part, les triangles semblables DIB\ El A7 donnent DI X IB=B'I X ÏA'; donc ffi2= B'I X IA', et, par conséquent, le point H est un point du cercle décrit sur B'A' comme diamètre. Les sections parallèles à B'HA' sont dites anti-parallèles à la base.

La bissectrice de l'angle ASB est l'axe intérieur du cône ; la bissectrice de l'angle supplémentaire est un second axe; une perpendiculaire menée par le sommet S au plan principal ASB est le troisième axe. On connaît ainsi les trois axes et les trois plans principaux du cône.