GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE L'HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE

S35. Nous avons vu (n° 426) que, lorsqu'une droite a plus de deux points situés sur une surface du second ordre, elle est tout entière située sur la surface. D'après cela, on comprend qu'il est impossible de placer sur un ellipsoïde une portion de droite réelle, si petite qu'elle soit; car, si cette portion de droite avait seulement trois points communs avec la surface, la droite indéfinie serait située tout entière sur la surface, et il est évident qu'une droite indéfinie ne peut appartenir à une surface limitée comme l'ellipsoïde. Il est impossible aussi de placer une droite sur I'hyperboloïde à deux nappes ; nous remarquons d'abord que cette droite ne peut être perpendiculaire à l'axe réel, puisque toutes les sections perpendiculaires à cette droite sont des ellipses ; la droite irait donc d'une nappe à l'autre, et il y aurait une portion intermédiaire qui n'appartiendrait pas à la surface. La même impossibilité n'existe pas pour l'hyperboloïde à une nappe. Nous avons déjà reconnu, en étudiant les sections planes (n° 53o), que, lorsque le plan sécant mené par un point de la surface est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe en ce point, la section se réduit à deux droites ; il en résulte que par tout point de la surface passent deux droites situées tout entières sur la surface. Nous allons étudier les propriétés des droites situées sur I'hyperboloïde à une nappe ; mais nous reprendrons d'abord la démonstration du théorème fondamental.

DES HYPERBOLOIDES G37

536. Soit M un point quelconque de la surface ; prenons pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour axes des y et des z deux diamètres conjugués de la section diamétrale correspondante; l'équation de l'hyperboloïde auralaforme

âï*'T77*~~'cr*~1'

En coupant la surface par le plan x = a', on a deux droites

T2~~"cr2~0' Ainsi, par tout point M de la surface passent deux droites situées sur la surface.

Nous avons déjà fait observer (n° 490) que les tangentes à toutes les courbes tracées par un même point sur une surface du second degré sont situées dans le même plan ; il n'y a d'exception que pour le cône et au sommet. Par un point M passent deux droites situées sur la surface ; le plan de ces deux droites est le plan tangent. Il est impossible de mener par ïe point M une troisième droite située sur la surface ; car cette droite serait aussi contenue dans le plan tangent x = a', et ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites.

Nous ferons remarquer aussi que la surface est coupée par le plan tangent ; une partie est située d'un côté de ce plan, l'autre partie de l'autre côté.

537. Dans le même système de coordonnées, le cône asymptote a pour équation

oT2~rY2~T2 = Q^ si l'on coupe le cône par le plan # = 0, on a les deux arêtes

Ces deux arêtes sont respectivement parallèles aux deux droites déterminées par le plan x = a' sur la surface de l'hyperboloïde. Ainsi, les droites situées sur V hyper boloïde sont respectivement parallèles aux arêtes du cône asymptote.

Si l'on coupe la surface par le plan x= — a', on a deux droites parallèles aux précédentes; ainsi, les droites qui passent par deux points M et M', symétriques par rapport au

centre, sont respectivement parallèles entre elles, et aux mêmes arêtes du cône asymptote.

538. Nous allons faire voir que les droites situées sur l'hyperboioïde peuvent être distinguées en deux séries, dont

chacune constitue toute la surface.

On opère commodément cette distinction, et l'on se rend bien compte do la position des droites, à l'aide do l'ellipse de gorge.

Puisque par tout point de la surface passent deux droites, il est clair Fig. 30'u. que par tout point de l'ellipse de

gorge passent deux droites DG. DH situées sur la surface (fig. 3o5).

Si, conservant pour axe des z l'axe imaginaire de la surface, on prend pour axe des x le diamètre OD de l'ellipse de gorge, et pour axe des y le diamètre conjugué OE, l'hyperboioïde a

pour équation

Le plan x = a\ mené par le point D parallèlement au plan ZOE, a pour trace sur le plan de l'ellipse de gorge la tangente ST à cette ellipse; ce plan coupe l'hyperboloïde suivant deux droites

qui se projettent sur le plan de l'ellipse de gorge suivant la tangente ST. Ainsi, toute tangente à V ellipse de gorge est la projection de deux droites situées sur l'hyperboioïde. Le cône asymptote a pour équation

il est coupé par le plan x = o suivant deux droites OG1? OH, qui ont pour équation

DES HYPERBOLOIDES. 639

et qui sont respectivement parallèles aux deux droites DG, DH situées sur l'hyperboloïde. Les deux axes des coordonnées OE et OZ étant rectangulaires, il résulte de ce qui précède que les deux droites DG, DH font des angles égaux avec le plan de l'ellipse de gorge, ou avec la parallèle à Taxe OZ menée par le point D ; si Ton appelle y ce dernier angle, on a

tangy = -.

539. Imaginons maintenant que le point D parcoure l'ellipse de gorge dans le sens AB ; toutes les droites, dont les parties supérieures au plan de l'ellipse de gorge font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles aigus, formeront un premier système ; toutes celles dont les parties supérieures font avec cette même tangente des angles obtus, formeront un second système. Ainsi, la droite DG appartient au premier système, la droite DH au second. Il est clair que ces deux systèmes, tels que nous venons de les définir, comprennent toutes les droites situées sur la surface ; nous remarquons d'abord qu'une droite quelconque située sur la surface n'est pas parallèle au plan de l'ellipse de gorge, puisque les sections parallèles à ce plan sont des ellipses; cette droite percera donc le plan en un point D de l'ellipse; or, par le point D, passent seulement deux droites DG, DH, appartenant, l'une au premier système, l'autre au second; la droite considérée coïncidera avec l'une de ces deux droites.

Si, en même temps que le point D se meut sur l'ellipse,

l'angle y varie d'après la formule tang y= — , la droite DG coïncidera successivement avec toutes les droites du premier système, la droite DH avec toutes celles du second système. Il est visible que chacune d'elles engendre la surface entière de l'hyperboloïde. Ainsi, l'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée, qui peut être engendrée de deux manières par le mouvement d'une ligne droite. Voilà pourquoi /es droites de chaque système ont été appelées les génératrices rectilignes de l'hyperboloïde. .

11 est bon de se rendre compte de la variation de l'angle y, Cet angle acquiert sa valeur minimum quand la droite passe par l'une des extrémités A du grand axe de l'ellipse de gorge, et sa valeur maximum quand elle passe par Tune des extrémités B du petit axe. Le point D allant de A en B5 l'angle y croît de sa valeur minimum à sa valeur maximum; cet angle décroît ensuite pour croître de nouveau, etc. Lorsque â=b, c'est-àdire lorsque l'ellipse de gorge devient an cercle, l'angle y est constant, et la surface est engendrée par chacune des deux droites DG, DH tournant autour de OZ; c'est l'hyperboloïde de révolution à une nappe que nous avons déjà considéré comme exemple des surfaces de révolution (n° 469).

540. Chacune des droites mobiles engendrant la surface entière, il est clair que les deux droites qui passent par un point quelconque de la surface appartiennent, Vune au premier système de génératrices, Vautre au second système. On le reconnaît d'ailleurs d'une manière très-nette, en construisant ces deux droites à l'aide de l'ellipse de gorge. Soit M un point de la surface, que nous supposerons situé au-dessus du plan de l'ellipse de gorge (fi g. 3o6) ; ce point se projette sur ce | plan en un point m extérieur à Tel-

f lipse ; par le point m menons des tan-

î gentes mD, mE à l'ellipse ; par le point

i M, de contact D de la première tangente,

menons la droite DG du premier sys-

Fier 3flfi — —

ë* ' tème, et par le point de contact E de la

seconde tangente la droite EL du second système. Les plans projetants GDm, LEm de ces deux droites se coupent suivant une droite MM' perpendiculaire au plan de l'ellipse de gorge;; la perpendiculaire élevée par le point m perce la surface en deux points; l'un est le point M situé au-dessus du plan de l'ellipse, l'autre est le point symétrique M' situé au-dessous. La droite DG, faisant avec Dm un angle aigu, rencontre la partie supérieure mM de la droite MM' , et elle passe au point M, p uisque cette partie supérieure ne rencontre la surface qu'en un point. De même la droite EL, faisant avec le prolongement de mE

DES HYPERBOLOIDES. 641

un angle obtus, ou avec Em un angle aigu, rencontre la partie supérieure mlsl de la même droite au même point M. Ainsi, par le point M passent les deux droites MD, ME, qui appartiennent, l'une au premier système, l'autre au second. 841. Nous avons vu (n° 538) que les génératrices rectilignes de la surface se projettent sur le plan de l'ellipse de gorge suivant des tangentes à cette ellipse. La même propriété a lieu par rapport à chacun des plans principaux.

Considérons le plan principal COA mené par l'axe imaginaire OC et l'un des axes OA de l'ellipse de gorge (fig. 30?) ; on démontrera, comme précédemment, que la tangente MDt au point M à l'hyperbole principale est la projection de deux droites MD, MD' situées sur la surface. Quand le point M s'éloigne à l'infini sur l'hyperbole, la tangente D4M tend vers l'asymptote OHi; cette asymptote est la projection des deux droites BH, B'H', qui passent par les extrémités de l'autre axe de l'ellipse de gorge.

L'autre asymptote OGi est la projection des droites BG, B'G', qui passent par ces mêmes points.

o42. Les génératrices rectilignes de l'hyperboloïde jouissent de quelques autres propriétés remarquables que nous allons démontrer. Soient DG, EL (fig. 3o8) deux génératrices de systèmes différents ; ces droites se pro-

jettent sur le plan de l'ellipse de gorge suivant des tangentes Dm, Em à cette ellipse ; en général, les deux tangentes se coupent en un point m et les deux plans projetants se coupent suivant une droite MM'perpendiculaire au plan de l'ellipse. Comme nous l'avons expliqué plus haut, les deux droites DG, EL, appartenant à des systèmes différents, rencontrent la perpen- Fig. 308. diculaire MM' d'un même côté du

GÉOM. ANALYT. 41

Fig. 307.

plan de l'ellipse de gorge, et, par conséquent, se coupent au point M, où cette perpendiculaire perce la surface. Ainsi, en général, deux génératrices de systèmes différents se rencontrent. Il peut arriver que les projections des deux droites soient parallèles ; ceci a lieu quand les deux droites, telles que DG, D'H' , passent par deux points D et D' diamétralement opposés de l'ellipse de gorge. Dans ce cas, les deux plans projetants sont parallèles; un plan parallèle mené par le centre coupera le cône suivant deux arêtes OGn OE^ ; il est clair que les deux génératrices DG, D'H' sont parallèles à la même arête OGj du cône asymptote, et, par conséquent, sont parallèles entre elles. On conclut de là que deux génératrices de systèmes différents se rencontrent ou sont parallèles, c'est-à-dire sont toujours dans un même plan.

M3. Considérons maintenant deux génératrices DG, EK du même système. Les plans projetants de ces deux droites se coupent suivant la droite MM7 perpendiculaire au plan de l'ellipse de gorge. La droite DG, faisant avec sa projection Dm un angle aigu, rencontre la droite MM' au-dessus du plan de l'ellipse de gorge; la droite EK, faisant avec le prolongement de raE un angle aigu, rencontre cette même droite au-dessous du plan; le plan DMM', qui contient la première droite DG et un point M' de la seconde, ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan.

Il peut arriver que les projections soient parallèles; soient les deux droites DG, D'G' du même système, passant par deux points diamétralement opposés de l'ellipse de gorge ; ces deux droites sont parallèles respectivement aux deux arêtes 0GU OHi du cône asymptote ; le plan GDD', qui contient la première et un point D' de la seconde, ne contient pas cette seconde droite ; ainsi, les deux droites ne sont pas dans un même plan. On conclut de là que deux génératrices du même système ne sont jamais dans un même plan.

544. Chaque arête OGj du cône asymptote est parallèle à deuxgénératricesDGjDlI'desystèmesdifférentsjonlesobtien-

DES HYPERBOLOIDES. 613

drait de cette manière : soit OF la trace du plan ZOGi sur le plan de l'ellipse de gorge; menons le diamètre DD' conjugué de OF ; les tangentes en D et D' étant parallèles à OF, les plans tangents GDff, G'D'H' en ces points sont parallèles au plan ZOGj qui coupe le cône suivant deux arêtes OQl , OH^ ; les deux génératrices DG, D'H', de systèmes différents, sont parallèles à OG4 ; les deux autres génératrices DH, D'G' sont parallèles à OHj. Il est impossible qu'une troisième génératrice de l'hyperboloïde soit parallèle à l'arête OGj ; car si trois génératrices de l'hyperboloïde étaient parallèles à une même arête du cône, deux appartiendraient au même système et seraient parallèles, entre elles, ce aui ne peut pas être

Le diamètre OD étant conjugué du plan ZOF, ou GjOH^

on sait (n° 532) que le plan DOGj est tangent au cône suivant l'arête OGt. Ainsi, le plan de deux génératrices parallèles DG, D'H' est tangent au cône asymptote.

Remarquons encore que trois génératrices du même système ne peuvent être parallèles à un même plan ; car en menant par le centre des parallèles à ces génératrices, on aurait trois arêtes différentes du cône asymptote situées dans le même plan, c$ qui est impossible.

545. Ce qui précède nous permet de distinguer les deux systèmes de génératrices par un autre procédé. Soit DH une droite quelconque située sur la surface, toutes les droites tel les que DG, EK,... qui rencontrent cette droite fixe, avec une droite D'G' qui lui est parallèle, constituent l'un des systèmes, par exemple le premier système. Toutes les autres constituent le second système.

846. Nous savons qu'il faut trois directrices pour définir le mouvement d'une ligne droite (n° 46°). Prenons comme directrices trois droites fixes A, B, C, appartenant au second système, et supposons qu'une droite mobile glisse sur ces trois directrices ; si par un point quelconque M de la droite A et chacune des droites B et C on fait passer un plan, l'intersection de ces deux plans déterminera la position de la droite mobile

qui passe en ce point ; la droite mobile, coïncidant ainsi successivement avec toutes les droites du premier système, engendrera l'hyperboloïde à une nappe.

De même, une droite mobile, glissant sur trois droites fixes appartenant au premier système, engendrera Thyperboloïde.

547. Nous allons faire voir que, réciproque- Fig. 309. ment, une droite mobile

qui glisse sur trois droites fixes quelconques, non parallèles à un même plan, engendre un hyperboloïde. Soient AB, CD, EF les trois directrices données (fig. 3oq). Si par chacune d'elles on fait passer un plan parallèle à lune des deux autres, on a six plans qui forment un parallélipipède ; prenons pour origine le centre du parallélipipède et pour axes des coordonnées des parallèles aux arêtes, dont nous désignerons les longueurs par iay ib, ic. Les équations des trois directrices sont, pour la disposition adoptée dans la figure 009,

(y = — b, (z = — c, fx = — a,