AB CD EF

Une droite MN qui rencontre les deux droites AB, CD peut être regardée comme l'intersection de deux plans menés, l'un par la droite AB, l'autre par la droite CD ; ces deux plans ont des équations de la forme

dans lesquelles X et V désignent des paramètres arbitraires. Mais la droite MN doit rencontrer la troisième directrice EF ; il en résulte entre les deux paramètres X et V la relation

(9) Va-}-A6-|-c = o.

On obtiendra l'équation de la surface engendrée par la droite

DES HYPERBOLOIDES. 345

MN en éliminant les deux paramètres X et V entre les équations (8) et (9), ce qui donne (10) ayz-\- bzx-\-cx?j -\-abc = o.

Le lieu est une surface du second degré ayant un centre unique ; ce n'est pas un cône, puisqu'elle ne passe pas par le centre ; c'est donc un hyperboloïde à une nappe.

Les trois directrices appartenant à la surface, les trois axes des coordonnées, qui leur sont parallèles, sont des arêtes du cône asymptote ; on peut remarquer que les trois arêtes AC, DE, BF qui, dans le parallélipipède, sont parallèles et opposées aux.clirectrices, appartiennent aussi à la surface ; par exemple, la droite AC, qui rencontre les deux directrices AB et CD, et qui est parallèle à EF, est une position particulière de la génératrice, et, par conséquent, appartient à la surface. Il résulte de là que les faces parallèles ABF, CDE du parallélipipède sont tangentes à la surface aux points B et D, et de même les autres. Les trois directrices et les trois arêtes opposées forment un hexagone gauche ACDEFBA situé sur la surface.

548. Étant donné un hyperboloïde à une nappe, soient AB et CD deux droites quelconques du même système (flg. 509) ; A un point fixe pris à volonté sur la première droite, C le point correspondant de la seconde, c'est-à-dire le point où cette seconde droite est rencontrée par la génératrice mobile de l'autre système, quand elle passe par le point A; à l'aide de la droite EF du premier système qui est parallèle à AC, on peut former le parallélipipède considéré précédemment. La génératrice mobile, dans une de ses positions, rencontre les deux droites fixes en M et N ; elle a décrit sur ces deux droites, à partir de sa position initiale AC, des longueurs AM et CN, nous "désignerons par a et p ces deux longueurs affectées du signe + quand elles sont portées dans les direetions AB ou CD du signe —quand elles sont portées dans les directions opposées. Si l'on projette la droite MNP sur le plan ABF, parallèlement à la droite EF, la longueur CN se projettera en vraie grandeur suivant AN'. En prenant pour axes des coordonnées les

droites AB et ADf, et exprimant que la droite mobne MN tourne autour du point F, on a la relation

Cette relation exprime que les deux points mobiles M et N déterminent sur les droites AB, CD deux systèmes de points homographiques (n° 3io).

Réciproquement, lorsqu'une droite mobile MN décrit sur deux droites fixes AB, CD, à partir d'une position initiale, des longueurs qui vérifient la relation (n), cette droite engendre un hyperboloïde à une nappe. En effet, soit AC la position initiale de la génératrice ; par le point A menons une parallèle AD à la droite CD, formons le parallélogramme AD'FB, dont les côtés AB et AD'sont égaux à ia et à 2b, et par le point F menons une parallèle FE à la droite AC ; si l'on prend AB et AD' pour axes des coordonnées dans le plan du parallélogramme, la relation (11) signifie que la droite MN' projection de la droite MN sur le plan du parallélogramme, parallèlement à AC, passe constamment par le point F; donc la droite MN rencontre la droite EF. Cette droite, glissant sur trois droites fixes AB, CD, EF, engendre un hyperboloïde à une nappe.

MO. Nous avons dit que l'hyperboloïde à une nappe admet deux systèmes de génératrices rectilignes. Il est facile de déduire de l'équation de la surface les équations de ces deux systèmes de droites. En effet, l'équation de l'hyperboloïde rapporté à ses axes est

chacun des membres, étant la différence de deux carrés, peut être décomposé en facteurs du premier degré, et l'équation devient

Considérons les deux équations du premier degré

DES HYPERBOLOIDES. 647

dans lesquelles le paramètre X est arbitraire. Pour chaque valeur de X, ces équations représentent une droite. Or, si l'on multiplie ces deux équations membre à membre, on retrouve l'équation (12) ; il en résulte que les équations (X) représentent un système de droites situées sur la surface.

Si Ton combine autrement les facteurs, on obtient deux autres équations du premier degré

renfermant un paramètre arbitraire [/., et qui représentent un second système de droites situées sur la surface. On peut attr&uer aux paramètres X et f/. des valeurs nulles

ou infinies. Si Ton pose X = -, les équations (X) prennent la forme

on fera dans ces équations m=o, ou«=o.

La surface étant le lieu des droites (X), il est évident que par tout point de la surface passe une droite de ce système. Pour déterminer la droite qui passe par un point M, ayant pour coordonnées x', y', z', dans les équations (X) on remplacera x, y, z par x', y', z' et Ton déduira de chacune d'elles la même valeur de X. De même, par tout point de la surface passe une droite du second système. D'ailleurs, ces deux droites diffèrent; car, pour que les droites représentées par les équations (X) et (rf fussent les mêmes, il faudrait que Ton eût

quelle que soit x, c'est-à-dire à la fois X = - , X =— 3 ce qui

est impossible. Il résulte de là que les équations (X) et ({/.) représentent toutes les droites situées sur l'hyperboloïde à une nappe.

550. Les parallèles menées par le centre aux droites (X) ont pour équations

(13) b ca* b^c~ la' l'élimination du paramètre X donne l'équation du cône asymptote

Ti~ci~ a2* Les parallèles menées par le centre aux droites ([/.) ont pour équations

m s y , z x y z ix

v ^' b { c r a b c {Afl

et l'élimination du paramètre [/. conduit encore au cône asymptote. On voit d'ailleurs que les deux systèmes de parallèles

coïncident; car si l'on donne à y. la valeur — -, les équations

(14) sont les mêmes que les équations (i3)„ Ainsi, les droites de l'un et l'autre système sont respectivement parallèles aux arêtes du cône asymptote.

551. Nous .allons faire voir maintenant que les droites représentées par les équations (X) constituent l'un des systèmes que nous avons définis précédemment par des considérations géométriques à l'aide de l'ellipse de gorge (n° 536), et que les droites représentées par les équations ((x) constituent l'autre système.

Il suffit pour cela de démontrer que toutes les droites du premier groupe rencontrent une droite fixe du second groupe, excepté une, qui lui est parallèle (n° 545). Considérons deux droites représentées par les équations (X) et (ja), quand on attribue à X et à [i. des valeurs quelconques ; on obtiendra le point d'intersection de ces deux droites, en regardant ces quatre équations comme simultanées; en comparant la première et la quatrième, la seconde et la troisième, on en déduit les deux équations

DES HYPERBOLOIDES. 649

qui se réduisent à une seule et qui donnent

Si le dénominateur 1 + V n'est pas nul, on obtient pour #, y, % des valeurs finies vérifiant les quatre équations ; ainsi les deux droites se coupent. Si Ton a 1 + X[/.=o,lesparallèles(i3)et(i4) menées par le centre à ces deux droites coïncident, et, par conséquent, les droites sont parallèles.