METHODE GENERALE POUR TROUVER LES DROITES SITUEES SUR UNE SURFACE

552. On peut rattacher la recherche des génératrices rectilignes des surfaces du second ordre à une méthode générale propre à donner les droites situées sur une surface algébrique d'ordre m. Soient

x = uz -f- p,

les équations d'une droite; si l'on remplace x et y par ces valeurs dans l'équation de la surface, on obtient une équation du iegré m en z, qui donne les m points d'intersection de la droite ôt de la surface. Pour que la droite soit tout entière située sur :a surface, il faut que cette équation se réduise à une identité, ce qui fournit m-\- 1 relations entre les quatre paramètres a, p, p, q. Ainsi, en général, il est impossible de placer une droite sur une surface algébrique d'un degré supérieur à trois ; les surfaces du troisième ordre admettent, en général, un nombre fini de droites, et les surfaces de second ordre une infinité. D'après cela, et d'un point de vue purement analytique, on peut concevoir toutes les surfaces du second ordre comme étant des surfaces réglées, à génératrices réelles ou imaginaires. Appliquons cette méthode à l'hyperboloïde à une nappe

L'équation en z est

et l'on a les trois équations de condition

a2 +"P"~1> a2+ b~ly

On peut exprimer les quatre paramètres ds la droite à l'aide d'une même variable auxiliaire. Ces relations \( 1 5) montrent que

les quatre quantités ~ ,-r et -, | sont les cosinus des angles

que font dans un plan avec des axes rectangulaires deux direcr trices perpendiculaires entre elles; on posera donc