Considérons le cas où les deux racines S' et S" ont

le même signe, par exemple le signe +. On peut supposer P négatif; si l'on pose

S" l'équation devient

La surface passe à l'ori- Fis- 31°- gine; les sections faites par

les plans principaux YOX, ZOX sont deux paraboles P et Q, qui ont pour axe commun la droite OX (fi g. 3io).

Coupons la surface par des plans perpendiculaires à la droite OX. Pour #=o, la section se réduit au point 0 ; en attribuant à x des valeurs positives de plus en plus grandes, on obtient des ellipses homothétiques qui ont leur centre sur la droite OX et qui augmentent indéfiniment. Les plans situés à gauche du plan YOZ ne coupent pas la surface. Ainsi, la surface est une nappo indéfinie située tout entière à droite du plan YOZ; on lui a donné le nom de paraboloïde elliptique. La droite OX est un axe de la surface; le point 0 en est le sommet.

Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P, ayant leurs sommets sur la parabole Q et leurs axes parallèles à OX. Il en résulte que Ton peut regarder la surface comme engendrée par la parabole P qui se meut parallèlement à elle-même, son sommet décrivant la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q, et Ton peut regarder la surface comme engendrée par la parabole Q se mouvant parallèlement à elle-même, son sommet décrivant la parabole P.