Les sections de la surface par des plans
non parallèles à l'axe, sont des ellipses, dont les projections sur le plan YOZ ont pour équations
y» s» = 2(/-By-Cs) p q A
Ces projections sont des ellipses homothétiques entre elles, quelle que soit la direction du plan sécant.
Lorsque le plan sécant By-{-Cz = l est parallèle à Taxe du paraboloïde, la section, dont la projection sur le plan XOY a pour équation
est une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe du paraboloïde. Le paramètre de cette parabole étant indépendant de /, il en résulte que des plans parallèles entre eux et parallèles à l'axe coupent la surface suivant des paraboles égales.
Considérons en particulier le cas où p = q; l'équation delà surface devient y2 -f~ z2 = ipx\ les sections par les plans perpendiculaires à l'axe OX sont des cercles ; ainsi, la surface est de révolution; elle est engendrée par la parabole P tournant autour de son axe OX. Les sections par des plans non parallèles à l'axe sont des ellipses, qui se projettent sur le plan YOZ suivant des cercles. Toutes les sections par des plans parallèles à Taxe sont des paraboles égales.
DES PARAB0L01DES. 0o3
PLANS DIAMETRAUX ET DIAMETRES.
SSII. Le plan diamétral conjugué de la droite
et
a pour
équation
(nc
-fY-
c'est un plan parallèle à l'axe. Ce plan coupe la surface suivant une parabole ; cette parabole est la courbe de contact du paraboloïde et d'un cylindre circonscrit ayant ses génératrices parallèles à la direction des cordes. Réciproquement, tout plan parallèle à l'axe est un plan diamétral.
Lorsque les droites sont parallèles à l'axe, chacune d'elles ne rencontre la surface qu'en un point, et il n'y a plus de plan diamétral ; le plan diamétral s'est éloigné à l'infini.
Le lieu du centre de la section faite par le plan représenté par l'équation Ax-\-By-{-Cz = l, dans laquelle lest un paramètre variable, a pour équations (n° 4q5) y z \ ,
c'est une droite parallèle à l'axe. Ainsi, les projections des sections parallèles sur le plan YOZ sont des ellipses homothétiques et concentriques. Réciproquement, toute droite parallèle à l'axe est un diamètre.
806. Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque M de la surface, pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour plan des xy un plan quelconque mené par la droite MX; ce plan coupe la surface suivant une parabole; nous prendrons pour axe des y la tangente à la parabole au point M, et pour axe des z la parallèle menée par le point M à la direction conjuguée du plan XM Y. L'équation de la surface, ne contenant pas de termes du premier degré en z, et devant se réduire, quand on y fait z = 0, à celle d'une parabole rapportée
a un diamètre et à la tangente à l'extrémité, sera de la forme
les deux paramétres// et q' auront le même signe, par exemple le signe -f-, sans quoi les sections par des plans quelconques seraient des hyperboles. On voit par là que le plan XMZ est conjugué de la direction M Y. Les sections faites par des plans parallèles au plan YMZ sont des ellipses rapportées à deux diamètres conjugués.
On peut obtenir d'une autre manière les axes des coordonnées auxquels nous venons de rapporter la surface. Considérons un plan quelconque non parallèle à Taxe du paraboloïde ; ce plan coupe la surface suivant une ellipse ; par le centre de l'ellipse, menons une parallèle à Taxe jusqu'à la rencontre de la surface, et, par ce point, des parallèles à deux diamètres conjugués de l'ellipse, l'équation de la surface relative à ces trois droites aura la forme précédente.
557. Les sections faites par un même plan dans le para boloïde
(2) £-+— = 2ff,
et dans le cylindre représenté par l'équation (5) *- + - = *,
où X est une longueur arbitraire, étant homothétiques, il suffit de chercher les sections circulaires du cylindre. On verra, comme au n° 517, que les plans de ces sections sont perpendiculaires à l'un des plans principaux ZOX, ZOY (flg. 3u). Les demi-axes de la section droite du cylindre sont égaux à \/pl et à \/qk; supposons p*>q; les plans cycliques menés par l'origine doivent passer par le grand axe OB; un cercle décrit du point 0 comme centre dans le plan ZOX, avec uû
DES PARABOLOIDES.
rayon égal à OB, coupe la génératrice DE en deux points D et
E ; les deux plans BOD, BOE coupent le cylindre suivant des cercles. Ainsi leparaboloïde elliptique admet deux séries de sections circulaires, qui sont perpendiculaires à la section principale de moindre paramètre et qui font avec l'autre plan principal un même angle 6 donné par la formule
Fig. 311.
sin6 = \A
La courbe d'intersection du cylindre et d'une sphère ayant pour centre l'origine, est située sur le cône
R2 + Up RVy,"Kty RV*
qui se réduit à deux plans, quand onaR2 = Ip ou R2 = lq. Ou obtient ainsi quatre plans cycliques; mais les deux premiers seulement sont réels.
PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE.
558. Considérons maintenant le cas où S' et S" sont de signes contraires. Supposons que le coefficient P ait le même signe que S" et posons
devient
Les sections faites par les plans principaux XOY, XOZ sont deux paraboles P et Q (fig. 3 12), dont les axes sont dirigés en sens contraires. Le plan YOZ coupe la surface suivant deux droites OA, OB, qui font avec OZ un angle dont la tangente
a pour valeur y -. Les sections faites par des plans parallèles
au plan YOZ sont des hyp erboles homothé tiques, mais dont la disposition varie; si le plan est du côté OX, l'axe réel de l'hyperbole est parallèle à OY ; s'il est de l'autre côté, l'axe réel est parallèle à OZ.La surface est formée d'une seule nappe qui s'étend indéfini- Fig. 3i2. ment à droite et à
gauche du plan YOZ; on lui a donné le nom de paraboloïde hyperbolique. La droite OX est un axe de la surface ; le point 0 «n est le sommet.
Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P et ayant leurs sommets sur la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q et ayant leurs sommets sur la parabole P; de sorte qu'on peut concevoir la surface comme engendrée par une parabole qui se meut parallèlement à elle-même, son sommet décrivant une autre parabole.
