GENERATRICES RECTILIGNES DU PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE

562. Il est impossible de placer une droite réelle sur le paraboloïde elliptique ; car, si par cette droite on mène un plan, ce plan coupera la surface suivant une ellipse ou une parabole. Mais la même impossibilité n'existe pas pour le paraboloïde hyperbolique. Nous avons vu que tout plan parallèle à l'un des deux plans AOX, BOX coupe la surface suivant une droite. Par un point quelconque M de la surface, menons un plan pa*

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rallèle au plan AOX ; ce plan coupera la surface suivant une droite passant par le point M; un plan parallèle au plan BOX donnera une seconde droite passant aussi par le point M. Ainsi, par tout point du paraboloïde hyperbolique passent deux droites situées sur la surface.

Le plan de ces deux droites est le plan tangent au point M. Il est impossible de mener par le point M une troisième droite située sur la surface ; car elle serait aussi contenue dans le plan tangent, et ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites. Les droites situées sur la surface du paraboloïde hyperbolique peuvent être distinguées en deux séries, dont chacune constitue toute la surface. La première série se compose des droites parallèles au plan AOX, la seconde série des droites parallèles au plan BOX; ces deux plans ont reçu le nom de plans directeurs.

Il résulte de là que les projections sur le plan YOZ des droites d'un même système sont parallèles ; car les plans projetants des droites du premier système sont parallèles au plan directeur AOX, et, par conséquent, leurs projections sont parallèles à la droite OA. De même, les projections des droites du second système sont parallèles à OB.

Projetons maintenant les droites sur l'un des plans principaux, par exemple sur le plan XOY. Nous remarquons d'abord qu'une droite DG située sur la surface (fig. 3i3) ne peut être parallèle à ce plan ; car la section faite par un plan parallèle au plan XOY est une parabole égale à la parabole P. La droite perce donc le plan principal en un point D de la parabole P ; le plan tangent en D contient la droite DG et la tangente DS à la parabole P ; ce plan étant perpendiculaire au plan principal XOY, on en conclut que la tangente DS à la parabole P est la projection de la droite DG. Ainsi, les projections des génératrices rectilignes sur les plans principaux sont tangentes aux sections principales.

Deux génératrices dumême système étant situées dans deux plans parallèles au même plan directeur, et, par conséquent, parallèles entre eux, ne peuvent se rencontrer. Elles ne sont pas non plus parallèles ; car leurs projections sur le plan prin-

cipal XOY, étant tangentes à la parabole P, ne sont pas parallèles. Ainsi, deux droites du même système ne sont jamais dam un même plan.

Considérons maintenant deux génératrices de systèmes différents; leurs projections sur le plan YOZ étant respectivement parallèles aux droites OA et OB se rencontrent; si, par le point d'intersection des projections, on mène une parallèle à l'axe OX, cette parallèle ne perce la surface qu'en un point, et, par conséquent, rencontre les deux droites données au même point. On en conclut que deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours.