DES PARABOLOÏDES

Quand le point D, partant du sommet 0, parcourt la parabole j principale P, l'angle y, que font les deux droites DG et DH avec la verticale DZ', augmente de plus en plus, et tend vers un angle droit.

Les deux droites DH, DG percent le plan principal XOZaux points H et K appartenant à la parabole principale Q, et situés sur une perpendiculaire à l'axe OX, au point T, où il est rencontré par la tangente DS ; les projections HD', KD' de ces deux droites sur le plan principal XOZ sont tangentes à la parabole Q, et passent par le point D', projection du point D. Le point D se projette en D" sur le plan YOZ ; les points H et K se projettent en H" et K" ; on a ainsi les projections D"H", D"G" des deux droites DH, DG sur le plan YOZ. Les points D et H appartenant aux paraboles principales, on a

DD'2 = 2P x OD', HT2 = iq X OT ; les deux longueurs OD' et OT étant égales entre elles, il en résulte

OD»DD'*/p OH"- HT- %'

On reconnaît ainsi de nouveau que la projection D"H" de la droite DH sur le plan YOZ conserve une direction constante ; de même la projection K"D"G" de la droite DG conserve une direction constante.

Si le point D parcourt la parabole principale P dans un sens déterminé OD, les droites dont les parties supérieures au plan principal XOY font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles aigus, percent l'autre plan principal XOZ au-dessous du premier, leurs projections sur le plan YOZ sont parallèles à OA et ces droites forment le premier système de génératrices. Les droites, dont les parties supérieures font avec les tangentes des angles obtus, ont leurs projections parallèles à OB et forment le second système.

Les deux droites DD", HH" étant égales et parallèles, la figure DD"HH" est un parallélogramme, et, par conséquent, les diagonales DH, D"H" se coupent mutuellement en deux parties égales ; ainsi le point I, où la génératrice DH perce le plan YOZ, est le milieu de la portion DH de cette droite corn-

662 LÏVRE VI, CHAPITRE V.

prise entre les deux plans principaux; le lieu du point I est la droite OA du premier système.

564. Nous savons qu'il faut trois directrices pour définir le mouvement d'une droite. Prenons comme directrices trois droites fixes A, B, C appartenant à l'un des systèmes, pai exemple au second ; ces droites seront parallèles au second plan directeur ; une droite mobile glissant sur ces trois directrices coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système, et, par conséquent, engendrera le paraboloïde hyperbolique.

On peut aussi définir le mouvement d'une droite en l'assujettissant à glisser sur deux droites fixes et à rester parallèle à un plan fixe. Si l'on prend pour directrices deux droites A et B du second système, et pour plan fixe le premier plan directeur, il est évident que la droite mobile coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système, et engendrera encore le paraboloïde.

565. Les réciproques sont vraies. Considérons d'abord une droite mobile assujettie à glisser sur deux droites fixes OZ et AB (fig. 3 14), en restant parallèle à un même plan.

Prenons pour axe des y une position particulière OA de la génératrice, pour axe des z la directrice OZ, pour plan des xy un plan parallèle au plan direc-

Fig. 3i4. teur, etpour plan des xz un plan parallèle

à la droite AB. Cette seconde directrice AB aura pour équations y=b, x=az. Soit MN une position quelconque de la génératrice; cette droite, étant parallèle au plan XOY et rencontrant Taxe OZ, a des équations de la forme

Igj * = p, y = mx9

avec deux paramètres variables m et p. Pour qu elle rencontre la seconde directrice AB, il faut que l'équation de condition

(10) amp = b

soit vérifiée. Si l'on élimine les deux paramètres m et p entre

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les équations (9) et (10), on obtient l'équation du lieu C11) ayz—bx = o.

La 'surface est du second degré ; elle est dépourvue de centre ; ce n'est pas un cylindre parabolique, puisque les droites OZ et AB, non parallèles, sont situées sur la surface; c'esx donc un paraboloïde hyperbolique.