Considérons maintenant une droite assujettie à
glisser sur trois droites fixes OZ, AB, A'B' (flg. 3i5), parallèles àun même plan. Prenons pour axe des z la directrice OZ, pour axe des y une position particulière de la génératrice, pour plan des zx un plan parallèle aux trois directrices, et dans ce plan une droite quelconque menée par le point 0 pour axe des x. Les deux directrices AB, A'B* sont représentéespar les équations
Fig. 315.
AB
ax,
z=zax.
Une droite MM' qui rencontre ces deux droites peut être regardée comme l'intersection de deux plans menés, l'un par la droite AB, l'autre par la droite A'B' ; ces deux plans ont des équations de la forme
c z — ax+l{y — b) = o, K j l z — ctx-\-7UiJ—V) = o,
dans lesquelles X et V désignent des paramètres arbitraires. La droite MM' devant rencontrer le droite OZ, on a, entre les deux paramètres, la relation (i3) b\ = b'\'.
On obtient l'équation de la surface engendrée par la droite MM' en éliminant les deux paramètres X et X' entre les trois équations (12) et (i3), ce qui donne l'équation (14) b{y — V)[z — ax)—b'{y — b){z — ^x)=o.
La surface est du second degré ; on reconnaît aisément qu'elle
est dépourvue de centre; d'ailleurs elle contient des droites non parallèles; c'est donc un paraboloïde hyperbolique.
5G7. Nous avons trouvé (n° 548) la relation qui existe, dans l'hyperboloïde à une nappe, entre les deux longueurs décrites sur deux droites fixes AB, CD de l'un des systèmes par une droite mobile de l'autre système. La relation est beaucoup plus simple dans le paraboloïde hyperbolique. Soient MN, M'N', M"N" "I1 /c (fig. 3i6) trois positions quelconques de la
Fig. 316. droite mobile; si par chacune d'elles on
mène un plan parallèle au plan directeur, on aura trois plans parallèles entre eux; or on sait que trois plans parallèles déterminent sur deux droites AB, CD des segments proportionnels ; on a donc la relation
