MM"MM

Si par chacune des deux droites MN, M'N' on mène un plan parallèle au plan défini précédemment, et que par le point M" on mène un plan parallèle au même plan, on aura trois plans parallèles qui détermineront sur les deux droites AB, CD des segments proportionnels; le plan mené par le point M" passera donc par le point N" et contiendra la droite M"N"; on en

DES PARABOLOIDES. 665

conclut que la génératrice mobile 'M"N" reste constamment parallèle à un même plan ; elle engendre donc un paraboloïde hyperbolique.

568. C'est d'après cette propriété remarquable que l'on construit des modèles en fil représentant le paraboloïde hyperbolique. Imaginons que l'on ait fait un cadre en bois ACDB, ayant la forme d'un quadrilatère gauche, si l'on divise les deux côtés opposés AB, CD en un même nombre de parties égales, et que l'on joigne par des fils tendus les points de division correspondants, ces fils représenteront l'un des systèmes de génératrices rectilignes d'un paraboloïde hyperbolique. Si l'on divise de même les deux côtés opposés AC, BD en un même nombre de parties égales, et que l'on joigne par des fils les points correspondants, on obtiendra le second système de génératrices.

869. Il est facile de déduire de l'équation du paraboloïde hyperbolique

les équations des deux systèmes de génératrices. En effet, on peut mettre l'équation (7) sous la forme

\\/p Vq) \Vp Vq

Les deux équations du premier degré

\/p \/q ' \/p Vq x'

dans lesquelles le paramètre 1 est arbitraire, représentent un système de droites situées sur la surface ; car, en multipliant ces deux équations membre à membre, on retrouve l'équation (7). Les deux équations

vp vq vp vq *

dans lesquelles le paramètre (j. est arbitraire, représentent un second système de droites situées sur la surface. Il est clair que

par tout point de la surface passent deux droites, une de chaque

système. D'ailleurs la première des équations (X) montre que

toutes les droites du premier système sont parallèles au plan

y z -7= j=.= 0 ; et de même la première des équations [/. mon-

VP V9

tre que toutes les droites du second système sont parallèles au

plan-7=-| — ^==0. Ainsi, les systèmes d'équations (X) et(fi.)re-

VpVq présentent bien les deux systèmes de génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique, tels que nous les avons définis géométriquement (n° 562).

570. Nous ferons remarquer que, lorsqu'un paraboloïde hyperbolique est rapporté à ses deux plans principaux et au plan tangent au sommet, si l'on égale à zéro l'ensemble des termes du second degré dans l'équation de la surface, on

V2 z* obtient une équation =0, qui représente les deux plans

directeurs. La même chose a lieu quand la surface est rapportée à des axes de coordonnées quelconques ; car, si l'on change d'abord la direction des axes en conservant la même origine, la partie du second degré dans la première équation donne la partie du second degré dans la nouvelle équation. Si l'on déplace ensuite l'origine en conservant le direction des axes, les termes du second degré ne changent pas ; si donc on égale à zéro l'ensemble de ces termes, on obtient des plans respectivement parallèles aux deux précédents.