PREMIÈRE MÉTHODE

571. On appliquera à l'équation proposée la méthode de réduction exposée au chapitre n; non-seulement on obtiendra par ce procédé l'espèce de la surface, mais encore on déterminera d'une manière précise sa situation et ses paramètres. Lorsqu'on veut reconnaître seulement la nature de la surface, il n'est pas nécessaire d'effectuer tous les calculs indiqués. On commence par former l'équation du troisième degré qui donne S ; il y a ensuite plusieurs cas à distinguer.

i° Quand l'équation du troisième degré n'a pas de racine nulle, on sait que la surface a un centre unique, et que son équation peut être ramenée à la forme (n° 5o6)

Sa?1 + Sy + SV+H = o.

Pour déterminer la nature de la surface, il suffit de calculer H et d'examiner les signes des racines S, S', S", signes qui sont donnés immédiatement par le théorème de Descartes. Si l'équation avait deux racines égales, la surface serait de révolution.

2° Quand l'équation du troisième degré a une seule racine nulle, l'équation peut être réduite à l'une des deux formes (n° 507)

Sy + SV + Pa?=o,

sy + sv+H=o.

La première représente des surfaces dépourvues de centre, et la seconde des surfaces ayant pour centres tous les points d'une droite. Pour connaître la forme qui convient à l'exemple donné, ou aura recours aux équations qui déterminent le centre.

Lorsque ces équations sont'incompatibles, le lieu est un parafeoloïde, elliptique si S7 et S" ont le même signe, hyperbolique si S' et S" ont des signes contraires. Lorsque le lieu admet une infinité de centres, ce lieu est un cylindre, dont on détermine la nature par une section non parallèle à l'axe. Si les deux racines S' et S" étaient égales, la surface serait de révolution.

3° Lorsque l'équation du troisième degré a deux racines nulles, l'équation peut être réduite à l'une des formes (n° 5oq) SV + Pa? = o, SV + H =o.

La première représente une surface dépourvue de centre, et la seconde une surface qui admet pour centres tous les points d'un plan. On aura encore recours aux équations qui déterminent le centre. Si ces équations sont incompatibles, le lieu est un cylindre parabolique. Si elles se réduisent à une seule, le lieu est l'ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l'équation n'a pas de solution réelle ; une section non parallèle au plan des centres déterminera la nature du lieu.

Remarque. La réduction expliquée au chapitre n suppose les axes primitifs rectangulaires. Or il est évident que si l'on construit, avec deux systèmes d'axes différents, les lieux représentés par une même équation du second degré, ces lieux seront toujours de même espèce ; cependant l'une des surfaces pourra être de révolution sans que l'autre le soit. Les conclusions précédentes s'appliquent donc à un système d'axes quelconques.