ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND

( Une seule ra- ; Les deux aucine nulle et pas l très racines de j de centre.

a.* CLASSE.

L'équation du troisième degré a une ou deux racines nulles.

Surfaces n'ayant pas de centre, ou une infinité de centres.

i même signe

Paraboloïde elliptique.

Genre parabo- ( loïde.

De signes contraires.

Les deux autres racines de

Une seule ra cine nulle et une \ même siSneinfinité de centres en ligne droite.

Deux racines j nulles et pas de centre. (

Deux racines |

nulles et une in- 1

finité de centres]

\ dans un plan. >

Paraboloïde hyperbolique.

Cylindre elliptique.

Une droite.

Rien.

/ Cylindre hyper- De signes con- jbolique.

"'""" " Deux plans qui

se coupent.

' traires.

Cylindre parabolique.

Deux plans parallèles.

Un plau.

Rien.

Exemple. Quelles sont les surfaces représentées par l'équation a(x2 -f 2yz) + b(y2 -f- zzx) -f e(z2 + zxy) = i, dans laquelle a, 6, c désignent des paramètres arbitraires?

Quelles que soient les valeurs attribuées aux paramètres, l'origine est un centre de la surface ; ainsi l'équation ne comprend que des surfaces à centre. L'équation du troisième degré en S est (S — a)(S — 6)(S—c) — a2(S-a) — 62(S~6) — c2(S--c) — 2a6c = o, ou

S3 — (a-f-ô+c)S2— (a24-62+c2— 6c— ca—aô)S+a3+&3+c3— 5abc — o. Si, pour abréger, on désigne par m et n les deux sommes a -f 6 -f- c et bc + m -f- ab, on a identiquement

a2 -f 62 -f c2 — bc — - ca — ■ ab = m2 — 5rc, a3 + 63 + c3— 3a&c = m(m2 — 5ra), et l'équation en S prend la forme

S2— m S2 — (m2— 3n)S + w(m2— 5n) = (S— m)[S2— (m2— 3n)]=oa La quantité m2 — 3 n étant égale à

ne devient jamais négative ; elle ne se réduit à zéro que lorsqu'on § az=b~c. Dans ce cas, l'équation proposée devient

elle représente deux plans parallèles, réels ou imaginaires, suivant que îd coefficient a est positif ou négatif.

Supposons maintenant que les trois coefficients a, 5, cne soient pas égaux entre eux, et représentons par k2 la quantité positive m2 — 3n; les trois racines de l'équation en S sont m et àz â, et l'équation proposée peut être ramenée à la forme

mx* + ky2—kz2 = i,

par une transformation de coordonnées. La surface est un hyperboloïde à une ou à deux nappes, suivant que le coefficient m est positif ou négatif. Lorsque ce coefficient est nul, l'équation représente un cylindre dont la section droite est une hyperbole équilatère.

L'hyperboloïde sera de révolution, si l'on a m = ± k, ou m2 = k2, c'est-à-dire n = o ou bc -f- ca -f- ab = o. Alors la direction de Taxe est déterminée par les formules (n° 5o8)

aa= 6p = cy, si les trois nombres a, 6, c sont différents de zéro, et par les formules

a = o, $=y9 si les deux coefficients b et c sont nuls.