DEUXIEME METHODE

873. On forme les équations qui déterminent le centre de la surface (n° 487); il y a plusieurs cas à distinguer.

i° La surface admet un centre unique. Dans ce cas, pour simplifier, on transporte les axes au centre, et l'équation se réduit à

(1) A#2-f A'yf+ AV + iByz + aB'ar + iWxy -f H = 0. Lorsque le terme constant H est nul, le lieu est un point unique ou un cône. Pour décider la question, on fait une section par un plan parallèle à l'un des plans coordonnés; si la section est imaginaire, le lieu est un point.

Examinons le cas où le terme constant H est différent de zéro. Supposons que l'équation renferme les carrés des trois variables; en résolvant par rapport à z, et posant, pour abréger

A/Af-B, = Ai, A"A— B'8=A; , BB'«~A"B"=B%

on a

A"s=— (B'a? -f By) =fc v/~ A'; ** + aW.xy — A,?/2— A"H .

ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ. 671 Le plan (a) A"z=-(B'x+By)

est le plan diamétral des cordes parallèles à OZ. La section de la surface par ce plan diamétral se projette sur le plan XOY suivant la courbe définie par l'équation

(5) — A[x2 + 2 B"txy — A,y2 — A"H = o.

Cette courbe admet un centre unique ; car on a

a, a;— b;,2=aa,

A étant le déterminant relatif aux équations du centre. En outre, le terme constant — A"H est différent du zéro.

Supposons que le lieu défini par l'équation (3) soit du genre ellipse; ce lieu sera une ellipse réelle ou une ellipse imaginaire, mais pas un point. Si le lieu est une ellipse réelle, la courbe a pour centre l'origine, et Ton sait que le polynôme.

— A[x2 + aB'Jffy — A4ya — A"H

«conserve un signe invariable, lorsqu'on remplace x et y par les coordonnées d'un point intérieur (ce signe est celui du terme — A"H) ; pour tous les points extérieurs, le polynôme a un signe contraire. Si la quantité — A"H est positive, tous les points de la surface se projettent à l'intérieur de l'ellipse ; la surface est donc un ellipsoïde. Si la quantité — A"H est négative, les points de la surface se projettent en dehors de l'ellipse, et Ton a un hyperboloïde à une nappe. Lorsque le lieu (3) est imaginaire, la fonction.

— A>2 + 2 B'[xy — A,y2 — A"H

conserve un signe invariable pour tous les points du plan XOY (ce signe est celui du terme — A"E.) et ne s'annule pas ; si la quantité — A"H est positive, la surface se compose de deux nappes indéfinies séparées par le plan diamétral ; c'est un hyperboloïde à deux nappes ; si la quantité — - A"H est négative, la valeur de z étant toujours imaginaire, l'équation (î) n'a pas de solution réelle.

Supposons actuellement que l'équation (3) définisse un lien du genre hyperbole ; le terme — A"H étant différent de zéro, le lieu est toujours une hyperbole, et non le système de deux

droites. Si la quantité — A"H est positive, tous les points de la surface se projettent entre les deux branches de vhyperbole; 3a surface est donc un hyperboloïde à une nappe. Si la quantité — : A"H est négative, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.-

On peut remarquer que le signe de la quantité — A"Hindiquesile diamètre OZ est réel ou imaginaire. Ce diamètre, joint à deux diamètres conjugués de la section, forme un système de trois diamètres conjugués de la surface, qui permettent de reconnaître immédiatement l'espèce de cette surface. Supposons que la section diamétrale soit une ellipse réelle, cette ellipse admet deux diamètres conjugués réels ; si la quantité — A"H est positive, le troisième diamètre étant aussi réel, la surface est un ellipsoïde ; si cette quantité est négative, le troisième diamètre étant imaginaire, la surface est un hyperboloïde à une nappe. Lorsque la section est une ellipse imaginaire, elle admet deux diamètres conjugués imaginaires ; si le troisième diamètre est réel, le lieu est un hyperboloïde à deux nappes ; s'il est aussi imaginaire, le lieu est un ellipsoïde imaginaire. Supposons maintenant que la section soit une hyperbole; de deux diamètres conjugués de cette hyperbole, l'un est réel, l'autre imaginaire ; si le troisième diamètre est réel, la surface est un hyperboloïde à une nappe ; s'il est imaginaire, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Nous ferons encore remarquer que la section diamétrale est la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à la surface et ayant ses arrêtes parallèles à l'axe des z.

Lorsque deux des coefficients A, A', A", par exemple A et A', sont de signes contraires, la surface est un hyperboloïde ; car la section faite par le plan z=o est une hyperbole.

Supposons maintenant que l'un des coefficients des carrés, A" par exemple, soit nul ; l'équation

(4) a(By + B'œ) z + A^2 + A! y* + aB'ay + H = o

étant du premier degré par rapport à z, à tout système de valeurs réelles de x et de y correspond une valeur réelle de z; ainsi la surface s'4tend à l'infini; c'est donc l'un des deux hy-

ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ. 673 perboloïdes. Le cône asymptote est représenté par l'équation

la droite 02 est une arête de ce cône. Si la surface est un hyperboloïde à une nappe, deux droites parallèles à OZ sont situées sur la surface ; or les équations d'une droite parallèle à OZ sont x = a, y=P; la coordonnée z du point d'intersection de cette droite et de la surface est donnée par l'équation

2 (BP + B'a) z + Aa2 + A'p2 + 2B"«P + H = o. Pour que la droite appartienne à la surface, il faut que l'on puisse choisir a et P de manière que l'équation précédente soit vérifiée quelle que soit z, c'est-à-dire de manière que l'on ait simultanément

BP + B'« = o , Aa2 + A'P2 + 2B"ap + H = o; d'où

P — B ' a "" AB2 + A/B'2— 2l3B/B,/' La surface est un hyperboloïde à une nappe, si la valeur de a2 est positive; un hyperboloïde à deux nappes, si cette valeur est négative.

2° La surface est dépourvue du centre. Cette surface ne peut être que l'un des paraboloïdes ou un cylindre parabolique. Si c'est un paraboloïde, l'un au moins des trois plans coordonnés n'est pas parallèle à l'axe, et donnera une section elliptique ou hyperbolique, suivant que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique. Si la surface est un cylindre parabolique, les sections par les trois plans coordonnés sont des paraboles.

Lorsque la surface est un paraboloïde, les plans diamétraux représentés par les équations /*=o, fy=o, /*' = o se coupent suivant des droites parallèles à l'axe de la surface ; de deux de ces équations on déduira les coefficients angulaires a et b de l'axe. Les plans perpendiculaires à l'axe sont définis par l'équation ax-\~ by -J- z=l; le lieu des centres de ces sections parallèles, ou Taxe de la surface, est donné parles équations (n°5o6)

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