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3° La surface a pour centres tous les points d'une droite. La surface est un cylindre; l'un au moins des trois plans coordonné? n'est pas parallèle à son axe ; la section du cylindre par ce plan détermine son espèce.

4° La surface a pour centres tous les points d'un plan. Dans ce cas, le lieu est l'ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l'équation ne représente rien. Pour décider la question, on fera une section par l'un des plans coordonnés non parallèle au plan des centres.

Exemple I. 4a?2 4- Zy2 4- gz2 4- Sxz 4- l±xy + !\y + Sz + 9 = o.

Les équations qui déterminent le centre sont

2X + y 4- 2Z = o, 2a? + Zy + 2 = o, 4# + 92 4- 4 = o.

Ces équations n'admettent qu'une solution x=-, y = — 3, 2 =— a.

Si l'on transporte l'origine au centre, le terme constant prend la valeur — 5, et l'équation se réduit à

4œ2 + 3y2 + 9z2 + 8xz 4- l\xy — 5 = o. En résolvant par rapport à a?, on a

20î = — y — 2Z rb \J — 2tj2 — 5s2 + (\yz 4- 5. L'équation — 2y2 — 5z2 -f- l\yz + 5 = o

représente une ellipse réelle; le terme constant sous le signe radical étant positif, la surface se projette sur le plan des yz à l'intérieur de l'ellipse ; c'est donc un ellipsoïde.

Sil'on remplaçait dansl'équation donnée, le terme constant 9 par 14 la nouvelle équation ainsi obtenue ne représenterait plus qu'un point. Si l'on remplaçait le terme constant par un nombre plus grand que 1 4 l'équation n'admettrait plus de solutions réelles.

Exemple II. 4#2 — i5y2 + i^yz + fax — l^xy 4- 4a? — 342/ + 242 — 18 = 0.

Les équations qui déterminent le centre sont

sas — y + z+i = o, 2X 4- iï>y — 72 4- 17 = o, 205 + 72/4-12 = 0.

Elles n'admettent qu'une solution x = — -, y = , z = — 1.

Lorsqu'on transporte l'origine au centre, l'équation de la surface devient

4#2 — i5y2 -h i^yz-\- !\zx — l\xy — 6 = 0. Celle-ci résolue par rapport à x donne

ao? = y — z àz \/z2 4- 16?/2— i6yz 4- 6. L'équation s2 4- 1 6 y2 — 1 Qyz + 6 = o