ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ

représente une hyperbole ; le terme constant sous le signe radical étant positif, la surface est un hyperboloïde à une nappe.

Lorsqu'on remplace dans l'équation proposée le terme— 18 par — 12, on obtient une nouvelle équation qui représente un cône ; si l'on remplace le terme constant par un nombre plus grand que — 12, on a un hyperboloïde à deux nappes.

Exemple III. 4a?2 4- 42/2 + 12s2— izyz 4- l\xy 4- 40? 4- <iy + Zz — o. Les équations qui déterminent le centre sont

2# 4- y 4- 1 = o, 2X 4- 42/ — 6z 4- 1 = o, 42/ — 8z — 1 = o. Si Ton retranche la première de la seconde, on obtient l'équation

y — 2Z = o, ou 42/ — &s = o, incompatible avec la troisième. L'équation proposée représente donc une surface dépourvue de centre. L'équation de la section de la surface par le plan des xy est

cette section étant une ellipse, la surface est un paraboloïde elliptique. L'axe, ayant pour coefficients angulaires — 1 et 2, est représenté par les équations

Exemple IV. 4#2 — 2?/2 — 12Z2 4- 122/2 + 4^2/ + 4# 4- 22/ 4- 3js =o.

Les équations qui déterminent le centre sont

Si l'on retranche la seconde de la première, on obtient l'équation y— 22 = 0, incompatible avec la troisième; ainsi la surface n'a pas de centre. Le plan des xy coupant la surface suivant une hyperbole

la surface est un paraboloïde hyperbolique, dont l'axe a pour équation»

Exemple V. x2 4- 22/2 4- 4^2 — 42/* — 2XU + 2# — 22/ — 4 = °« Les équations qui déterminent le centre sont

En ajoutant les deux premières, membre à membre, on obtient la troisième; donc la surface admet pour centres tous les points de la droite x=2Z — 1, 2/= 22. Sa trace sur le plan XOY est l'ellipse réelle

x2 4- 22/2 — 2xy 4-20? — 2y — 4 = 0.

Ainsi la surface est un cylindre elliptique.