TROISIÈME MÉTHODE
874. Cette méthode, déjà appliquée au n° 123, repose sur la décomposition du polynôme du second degré en une somme de carrés de fonctions linéaires des variables ; l'un des carrés étant remplacé, dans certains cas, par une fonction du premier degré. Montrons d'abord comment se fait la décomposition quelque soit le nombre des variables. Dans ce qui suit, les lettres a b c k désigneront des quantités constantes, et les lettres a (3 y des fonctions linéaires d'une ou de plusieurs des variables x y s.
Considérons en premier lieu un polynôme du second degré à une seule variable x, (i) A#2 + 2Ba? + C;
le coefficient A étant différent de zéro, on peut écrire le polynôme
a / . BV . n B* A(* + I)+C-T,
et, par conséquent, le ramener à la forme
(2) aa2 + k.
Soit maintenant un polynôme du second degré à deux variables
(3) Ax2 + *Bxy + D/2 + zDx + iEy + F,
dans lequel nous supposerons d'abord que l'un des coefficients de x2 et de y2, C par exemple, n'est pas nul. Le polynôme (3) est du second degré par rapport à y ; en l'ordonnant par rapport à cette variable, on a
Cy2 + 2 {Bx + E) y + Ax2 + iï)x + F =
c^ + 5î±5J+a,.+,di+f-(5î±S1.
La seconde partie Ax* -f 2Da?+F — - — 7^- est un polynôme
en x du second ou du premier degré, ou une constante. Si elle est du second degré, on la mettra sous la form ^ à$ + k ; ainsi, lorsque le coefficient G n'est pas nul, on peut ramener le polynôme (3) à l'une des formes
(6) ace2 + k.
ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ. 677 Lorsque les deux coefficients A et C sont nuls là la fois, 33 est nécessairement différent de zéro, et l'on a
zBxy + 2D# -f aEy + F = ix ÇBy -f D) -f 2E?/ -f F = g(B« + E)(By+D)-i(aDB-BF);
le polynôme prend la forme
Il est bon de remarquer que la forme (7) se ramène à la forme
(4) ; car on a identiquement
Mais les polynômes — — , contiennent les deux variables
x et y, tandis que dans le polynôme (4) la fonction p ne renferme que la variable x.
Considérons enfin un polynôme à trois variables
(8) Ax2 + A'?/2 + A'22 + aBj/z + iB'zx + iB"xy
-j-aCa + aCy + aCï + F, et supposons que l'un des carrés, z2 par exemple, ait son coefficient différent de zéro. En ordonnant par rapport à z, on a A"z*+z(By-\-B'x+C")z+Ax*+Ay+2B"xy-{-iCx+2C'y+F=
A" (z + 2^+5J±£'j 2+ Atf2 + A'?/2 + aB'*y+ aC#+ aCy
(By + B'ar+C)»
La seconde partie est un polynôme du second ou du premier degré par rapport aux variables x et y, ou une constante; si elle est du second degré, on la mettra sous Tune des formes (4), (5), (6); ainsi le polynôme (8) prendra Tune des formes
(9) m2+b£2-f-cf+k, (10) aa2+6p2+Y, C11) a*2+6P2+ft>
(12) aa2-f-p, (i3) aoi24-k.
Lorsque les trois coefficients A, A', A" sont nuls à la fois, l'un au moins des coefficients B, B', B", par exemple B, est
différent de zéro; alors on a
iByz + ft&zx + *BTxy + *Gx + C'y + aC* + F = «(aBy + 2B'o? + aC") + aB'ay + aCa? + aC'y + F
= (* + F "* + ff) (2By + 2B^ + 2C,,) + aCa? + F
aB'B"
aB"C" aB'ff
aC'C"
La seconde partie étant un polynôme en x du second degré au plus, le polynôme proposé peut être ramené à Tune des formes (14) ap.+ ^+A,
(i5) ap + Y,
Si l'on remplace le produit ap par (^-H — - (- — -) > les
formes (14), (i5), (16) se ramènent aux formes (9), (10), (11). . 573. Cela posé, lorsqu'on donne une équation numérique du second degré, on commence par ramener le premier membre de cette équation à Tune des formes précédentes, et il est facile d'en déduire l'espèce de la surface. Considérons, par exemple, le cas où l'équation est de la forme (9) «a2 + bp2 + cf -f k = o.
Imaginons que l'on effectue une transformation de coordonnée»
en prenant pour plans des y'z'9 des z'x\ et des x'y' les plans définis par les équations a = 0, p = o, y = 0.
D'un point quelconque M de l'espace (flg. 317) abaissons une perpendiculaire MN sur le plan X'O'Y' et menons MI parallèle à O'Z'; désignons par x, y, z les anciennes coordonnées du point M, par x\ y', z' les coordonnées nouvelles, par ô l'angle des deux droites MN, MI, angle qui est le même pour tous les points de l'espace, et soit enfin T= mx JFny+PzJr(ï' La perpendiculaire MN a pour expres-
Fig. 317.
ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ. 679 sion dans le premier système de coordonnées (n° 438) MN I "rc + rcy+^ + g- ±r
et dans le second
MN = ±z'cos 9.
Dans chacune des formules, le signe du second, membre change lorsque le point M passe d'un côté du plan X'O'Y' à l'autre; si donc on appelle h le produit s/mï + n* + p2 X cos 0, affecté d'un signe convenable, on aura pour tous les points de l'espace la relation y = kz'. On démontrerait de même les relations p=gi/, ct=fx'. Il en résulte que l'équation de la surface, par rapport aux nouveaux axes, est (17) a/V* + bg*y'* + cAV2 + ft = o.
La surface est une surface à centre unique, et les nouveaux plans des coordonnées sont trois plans diamétraux conjugués. L'espèce de la surface est indiquée immédiatement par les signes des coefficients a, b, c, k*
576. Remarque I. Cette transformation des coordonnées suppose que les plans définis par les équations a=o, p=o, y=o se coupent en un point unique. Cette condition peut n'être pas remplie, lorsque les fonctions linéaires a, p, y sont prises arbitrairement ; mais elle l'est toujours, lorsque ces polynômes proviennent de la transformation d'une fonction du seconé degré d'après la méthode indiquée ; car, alors, chaque polynôme contient une variable de moins que le précédent.
Remarque IL Lorsque les trois coefficients a, b, c, n'ont pas le même signe, la surface est un hyperboloïde; si, dans l'équation (17), on supprime le terme constant k, on obtient l'équation du cône asymptote par rapport aux nouveaux axes; on en conclut qu'en supprimant la même constante k dans l'équation (9), on obtiendra l'équation du cône asymptote par rapport aux axes primitifs.
Remarque III. Lorsque a et b sont positifs, c et k négatifs, la surface est un hyperboloïde à une nappe. Si l'on pose c=— ci , i = — A4, l'équation devient
aot* — cty% = kt — ôpf .
Les deux systèmes de génératrices rectiligoes sont donnés par les équations
f cxV/â+YV/c7=^(v/*T-|-PVf6), ( otV^ + YV/^ = ^(^1--P^),
dans lesquelles X et p. sont des paramètres arbitraires.
577. Lorsque le premier membre de l'équation se réduit à la forme (io), on reconnaît par la même transformation que la surface est un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique, suivant que les coefficients a et b ont le même signe ou des signes contraires. Dans ce dernier cas, si Ton suppose a positif, b négatil et égal à — bu les deux systèmes de génératrices rectilignes sont définis par les équations
av/â+(3l/^"=:X, / <x\/a — pi/ô1=fA,
a\/â — pv/*7==. — ^» ( « \/«+ P V/^7:= — ~ ♦
les droites du premier système sont parallèles au plan
celles du second système au plan
ai\/a — pi/6t = o; l'ensemble des deux plans directeurs est représenté par l'équation m2 — b$*=o, ce qui est conforme à la remarque du n° 570.
Lorsque le premier membre se réduit à la forme (11), en prenant pour nouveaux plans des coordonnées les deux plans a=o, p=o, et un troisième plan non parallèle à la droite d'intersection des deux premiers, on reconnaît que la surface est un cylindre elliptique ou hyperbolique. La forme (12) correspond au cylindre parabolique, et la forme (i3) au système de deux plans parallèles.
Les formes (14), (i5,) (16) se ramènent aux précédentes; mais cette réduction n'est pas nécessaire. On voit directement que la forme (14) donne un hyperboloïde aune nappe, sic et A ont des signes contraires; un hyperboloïde à deux nappes, s'ils ont le même signe. Dans le premier cas, soit c positif, k négatif
ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRE. 681 et égal à— At ; les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
