U.OL
YV/(?-v/A1 = — -, j yV/c+V//m =— -•
La forme (i5) correspond au paraboloïde hyperbolique; les deux systèmes de génératrices rectilignes sont représentés par les équations
Enfin la forme (16) donne un cylindre hyperbolique.
378. Dans ce qui précède, nous avons supposé les axes rectangulaires. On peut employer la même méthode de transformation quand les coordonnées sont obliques, et Ton reconnaît aisément que l'on a
y = mx + ny+pz + q = ±r cQgQ ,
$ et 9' étant les angles que la normale au plan y=o fait avec les axes OZ et O'Z'; il en résulte, comme dans le cas des coordonnées rectangulaires, y=hz', h étant une constante.
Exemple I. 4#2 + 3y2 + qz2 + Sxz -f l\xy + 4y -f Sz + 9 = o. Le premier membre de l'équation, ordonnée par rapport à œ, est
4a?2 + 4% + 2^) + 3t/2 + 9*2 + kV + 8s + 9, ou (20? + y + 2z)2 — {y + sz)2 + 3?/2 + 9*2 + 4?, + 82 + 9,
«et, en faisant les réductions dans la seconde partie,
{2X + y + az)2 + 2.v2 + 5*2 — l\yz + 4y + 82 + 9. la seconde partie, ordonnée par rapport à y, devient ay2 —42/(2— 1) + 5s2 + 8s + 9 = 2(3/ — z -f i)2— 2(2 — i)2 + 5*2 + 82 + 9. Enfin la dernière partie de ce nouveau polynôme est 3z2 + i« + 7 = 3 (2 -f 2)2 — 5.
Il résulte de ce qui précède que l'équation proposée peut se mettre •sous la forme
Cette équation représente un ellipsoïde, et les trois plans définis pat les équations
sont trois plans diamétraux conjugués de la surface. Ces plans se face.
coupent au point x = ^ , y — — 3, 2 = — 2, qui est le centre de la sur-
Exemple IL 4#2 — i5?/2 + i4y2+4so?— hxy-\-l\x— 3ty + 242 — 18 = 0. On a successivement
4#*2 — i5?/2 + i^yz + l\zx — l\xy + l\x — -34y + 24s — 18 = 4a?2 4- l\x(z — y 4- 1) — i5y2 -j- i4y^ — 34?/ 4- 242 — 18 = (2X — y + 2 + i)2— iG?y2 + i6yz—z2-^.62y + 22Z— 19;
puis
et enfin 3s2 + 6z— 3 =3 {z + i)2 — G.
L'équation proposée prend la forme
elle représente un byperboloïde à une nappe. Les équations des deux
systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont
aœ + Sy — * + 5= X [\/6+ {z + 1) V^L 20s — 5y + 3.s — 3 = ^ [v/6 — (* + i)l/3]î
12a? + 3t/ — * + 5 = f4v/6 — (2+ i)i/3], 2# — 5?y + 32 — 3 = - [j/6+ (s + i)l/3]. L'équation du cône asymptote est
Exemple III. l\x2 + 4y2 + 12Z2 — izyz + 4#/y + l\x + 2 y + 32 = ©. On a 4as2 + f\x[y + 1) + 4?/ + 12Z2 — \<zyz + iy + oz
= (205 +2/ + i)2 + 3?/ + 1222— 12^ + oz— I, 3y2 + 1222 — isyz + 3z— 1 =3(y — 2z)2 + 32 — 1, et l'équation de la surface peut se mettre sous la forme (205 + y + i)2 + 3 (y — 2z)2 + 32 — 1 = o; elle représente un paraboloïde elliptique.
Exemple IV. kx2 — 2?/ — ■ 1222 + izyz + !\xy + 4a? + zy + 32 = o. L'équation se met sous la forme
(20? + y + i)2 — 5 (y — 22)2 + (32 — 1) =05 elle représente un paraboloïde hyperbolique.
