ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ

Les deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont donnés par les équations

12a? + y + i + (y — az) t/3l=x, sa? + y + i — (y — az) \/ï = ^ (i — 3z);

Iaœ-f-y + i + (y — az) \/3 = n(i — 3z), sa? + y + i — (y — az) v/3 = - •

Exemple V. œ2 + 42/2 + z2 — 42/z— - izx -\- l\xy -\- Qx + !\y — 5z-|-3=o. Ordonné par rapport à a?, le premier membre s'écrit

a?2 + 205(2?/ — z + 3) + 4y2 + z2 — 4?/2 + 4y— 5* + fc = (a? + 2?/ -z + 3)2 — 82/4-2 — 6, et l'équation proposée prend la forme

elle représente un cylindre parabolique; les arêtes du cylindre sont parallèles à la droite déterminée par les deux équations

Exemple VI. Indiquer les diverses surfaces représentées par l'équation

œ2 + (swi2 + i) {y2 + z2) — a( yz + zx + a??/) = 2m3 — 3m + 1,

dans laquelle m est un paramètre variable. Le second membre est un

polynôme du troisième degré dont les racines sont 1 et * ~ v ; si

Ton pose m' = — Y ~*~ *, m" = L — Z-I, on écrira ce polynôme sous 2 2

la forme

Lorsque le paramètre m est différent de zéro, si Ton transforme le premier membre en une somme de carrés, l'équation devient

(x-y-zf+ 2m2 (y -~y + 2 (m2- ^2Jz2

Lorsque le paramètre m est égal à zéro, l'équation se réduit à

(a? — y — z)2 — 4y* = ï« La racine m" est plus petite que l'unité, la valeur absolue de m' est au contraire plus grande que l'unité.

10 Quand le paramètre m a une valeur comprise entre— oo et m', les coefficients c/es carrés étant positifs et le second membre négatif, on a un ellipsoïde imaginaire. Lorsque m acquiert la valeur m', le ■lieu est un point.

a0 Quand m est compris entre m! et — i, les coefficients des carrés étant positifs, ainsi que le second membre, la surface est un ellipsoïde. Pour m = — i, l'ellipsoïde se change en un cylindre elliptique.

3° Quand m est compris entre — i et m", le lieu est un hyperboloïde à une nappe. Cet intervalle comprend la valeur m = o, à laquelle ne convient pas la première forme; mais la seconde forme montre que dans ce cas la surface est toujours un hyperboloïde à une nappe. Pour m=-.m"9 Fhyperboloïde se change en un cône.

4° Lorsque m est compris entre m" et+ i, le second membre devenant négatif, on a un hyperboloïde à deux nappes. Pour m= i, on a une droite.

5° Enfin quand m est compris entre i et + oo , on a de nouveau un ellipsoïde.

Pour que la surface soit de révolution, comme les trois coefficients B,B',B" sont différents de zéro, il faut que l'on ait les relations