CHAPITRE VII

'Fliéorèmes généraux sur les surfaces du second

degré.

o79. L'équation générale du second degré (i) A#2 + AY + AV + zBijz + zB'zx + *B"xy

+ lGx+ iC'y + lC"z -\-¥ = 0,

entre les trois variables œ, y, z, renferme dix termes, et la surface définie car cette équation dépend de neuf paramètres arbitraires, les rapports de neuf coefficients au dixième. Il faut clone neuf conditions géométriques pour définir une surface du second degré, en supposant que chaque condition géométrique s'exprime par une seule relation entre les coefficients. Ainsi, par exemple, une surface du second degré est déterminée par neuf points.

La ligne d'intersection d'une surface du second degré et d'un plan tangent se compose de deux droites, ou se réduit à un point, c'est-à-dire à deux droites imaginaires conjuguées. Pour exprimer qu'un plan est tangent à la surface, il suffira donc d'écrire la condition pour que la ligne d'intersection se réduise à deux droites. Ainsi neuf plans tangents déterminent une surface du second degré.

On voit facilement qu'un plan tangent avec le point de contact équivaut à trois conditions.

La surface est un paraboloïde, lorsque le déterminant des équations du centre