AA'A"— AB2 — A'B/2 — A"B"2 + 2BB/B

est nul. Ainsi huit points suffisent pour déterminer un paraboloïde.

La surface est un cône lorsque le centre est situé sur la surface. Si Ton rend l'équation homogène, on a les équations

i/: = Aar + Biry + B,« + C/ = of

*-fl =B"x+ My + Bz + ff*= o, f: =Bfx+ By + A"z +C"t= o,

dont la dernière, en vertu de la relation (8) du n° 489, exprime que le centre est sur la surface. Pour que ces quatre équa' tions homogènes et du premier degré admettent une solution, dans laquelle Tune des inconnues au moins soit différente de zéro, il est nécessaire que le déterminant

soit nul.

08O. On arrive aux mêmes conséquences par la décomposition en carrés. Pour que la surface soit un cône, il faut qu'après avoir formé les trois carrés variables on obtienne une partie constante nulle. Pour que la surface soit un paraboloïde, il faut qu'après avoir formé les deux premiers carrés la partie restante soit une fonction du premier degré à une seule variable ; on égalera à zéro le coefficient du terme du second degré. Pour que la surface soit un cylindre, il faut que cette partie restante soit une constante ; on égalera à zéro les coefficients des termes du premier et du second degré; sept points déterminent un cylindre. Pour que la surface soit un cylindre parabolique, il faut qu'après avoir formé le premier carré, la partie restante soit une fonction du premier degré à deux variables; ceci revient à dire que la partie du second degré dans l'équation proposée est un carré parfait, ce qui exige que 1 on ait

■ A. =rr J± —7. O.

Ces relations expriment que l'équation du troisième degré en S a une racine double égale à zéro. Six noints déterminent un cylindre parabolique.

580 bis. Il résulte de ce que nous avons vu précédemment (n° 5 10) que le signe du discriminant D reste le même quel que soit le système d'axes auquel on rapporte la surface, et quel que soit le facteur par lequel on multiplie tous les coefficients de l'équation de la surface. La signification géométrique de ce signe est la suivante :

Si D > o, la surface est entièrement imaginaire ou admet deux systèmes de génératrices (ellipsoïde imaginaire, hyperboloïde à une nappe, paraboloïde hyperbolique).

Si D <o, la surface est convexe (ellipsoïde réel, hyperboloïde à deux nappes, paraboloïde elliptique).

Si D = 0 , la surface est développable (cône, cylindre ou système de plans).

En effet, supposons la surface réelle et prenons pour origine un point quelconque de la surface, pour plan des xy le plan tangent, pour axe des z la normale : alors l'équation devient

Ax2 + A.y + AV + <&yz -f *B'œz + 2B"xy + iG'z == o

et Ton a

D = Gv»(B,,a — AA').

D'autre part la section de la surface par le plan tangent z = o se compose des deux droites ayant pour équation

kx2 + AY + zWxy = 0.

Si donc D est positif, ces droites sont réelles et distinctes et, par chaque point de la surface, il passe deux génératrices; si, au contraire, D est négatif, ces droites sont imaginaires et la surface n'admet pas de génératrices ; elle est convexe.

Nous avons supposé la surface réelle ; si elle est imaginaire son équation peut se mettre sous la forme (n° 5n)

s^2 + sy + sv + H=o

où S, S', S" , H ont le même signe; alors le discriminant D = SS'S"H est positif. Donc, lorsque D est positif ou bien la surface est entièrement imaginaire, ou bien elle est réelle et, dans ce cas, elle admet deux systèmes de génératrices.

581. Pour qu'une droite soit située entièrement sur une surface de l'ordre m, il faut, comme nous l'ayons vu au n° 552, que l'équation résultant de l'élimination de a? et y entre les équations de la droite et celle de la surface soit vérifiée quelle que soit z, ce qui donne m-\- 1 relations entre les paramètres variables de la surface. On arrive à la même conclusion, d'une autre manière, en observant que, pour que la droite appartienne à Ja surface, il faut et il suffit que les coordonnées de m -f- 1 de ses points vérifient l'équation de cette surface. En particulier, si la surface est du second degré, une droite équivaut à trois points et trois droites déterminent la surface. Si. parmi les points donnés, quatre ou un plus grand nombre sont sur une même droite, ces points ne devront être comptés que pour trois.

Trois droites quelconques définissent un hyperboloïde à une nappe. Deux droites quelconques et deux points définissent un paraboloïde hyperbolique. Cinq droites passant par un même point définissent un cône du second degré; car les points où ces cinq droites percent un plan déterminent une courbe du second degré qui, avec le sommet, définit le cône.

582. Théorème I. Par neuf points donnés, non situés dans un même plan, on peut toujours faire passer au moins une surface du second ordre.

Il suffit de répéter ici le raisonnement du n° 275. En écrivant que la surface représentée par l'équation (1) passe par les neuf points donnés, on a neuf équations homogènes et du premier degré entre les dix coefficients inconnus A, A', A", B, B', B", C, (7, (7, F; d'après le principe établi au n° 274, ces équations sont vérifiées par une infinité de systèmes de valeurs des

THÉORÈMES SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 689 inconnues, dont Tune au moins est différente de zéro. Dans aucune de ces solutions, les huit premières inconnues ne sont nulles à la fois ; car alors on aurait aussi F = o. Nous remarquons en outre que les six premières inconnues ne peuvent être nulles à la fois; car l'équation (1) se réduirait au premier degré et représenterait un plan passant par les neuf points donnés. En attribuant aux dix coefficients les valeurs qui constituent l'une des solutions précédentes, on a une surface du second degré passant par les neuf points donnés.

On obtient immédiatement l'équation de la surface à l'aide d'un déterminant (n° 27g).

583. Théorème IL Par la ligne d'intersection de deux surfaces du second ordre, et un point \ on peut faire passer une surface du second ordre et une seule.

Soient S = 0, Si = 0 les équations de deux surfaces du second ordre; l'équation S — k S1=o, dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représente une surface du second ordre passant par la courbe gauche du quatrième ordre, intersection des deux premières ; or on peut déterminer le paramètre k de manière que cette surface passe par un point M pris à volonté dans l'espace. Ainsi, par la ligne d'intersection des deux surfaces données et le point M, on peut toujours faire passer une surface du second degré.

D'ailleurs il est facile de démontrer qu'on n'en peut faire passer qu'une. En effet, un plan quelconque passant par le point M coupe les deux surfaces S et Si suivant deux coniques ; ces deux coniques, situées dans un même plan, ont quatre points communs; ces quatre points et le point M déterminent une conique qui doit appartenir à la surface cherchée ; puisque chacun des plans menés par le point M coupe les surfaces cherchées suivant une même conique, il ne peut y avoir deux surfaces différentes remplissant les conditions énoncées.

Il résulte de là que l'on peut regarder l'équation

{2) S — kSi = o

comme l'équation générale des surfaces du second ordre qui

GÉOM. ANALYT. 44

passent par la ligne d'intersection des deux surfaces S = o, S1=o.

584. Corollaire. Considérons les deux coniques suivant lesquelles une surface du second ordre S = o est coupée par deux plans a = oetp = o; l'équation ap = o définissant une surface du second ordre, l'équation

(3) S — Aap=o

représente toutes les surfaces du second ordre qui passent par ces deux coniques.

De même l'équation

(4) ap — kyà=o

représente toutes les surfaces du second ordre qui passent par les quatre droites d'intersection des deux systèmes de plans aj3 = o, y& = o. Ces quatre droites forment un quadrilatère gauche.

585. Théorème III. Lorsque deux coniques situées dans des plans différents ont deux points communs, on peut par ces deux coniques faire passer une infinité de surfaces du second ordre.

Si l'on prend sur chacune des deux coniques trois autres points, on a en tout huit points par lesquels, d'après le théorème I, on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre. Considérons l'une de ces surfaces ; les plans des deux coniques coupent cette surface suivant deux coniques ayant chacune cinq points communs avec l'une des coniques données, et, par conséquent, coïncidant avec celles-ci. Il résulte d'ailleurs de ce qui précède qu'un point extérieur suffit pour déterminer la surface.

586. Théobème IV. Lorsque deux surfaces du second ordre ont cinq points communs situés dans un même plan, la ligne d'intersection des deux surfaces se compose de deux courbes planes.

Supposons que les deux surfaces S et Si aient cinq points communs situés dans un même plan P ; ces cinq points déterminent une conique C qui appartient aux deux surfaces. Prenons trois autres points communs non situés dans le plan P ; le plan P' qui passe par ces trois points coupe la conique C en deux points qui, avec les trois précédents, déterminent un©

conique G' appartenant aussi aux deux surfaces. Les deux surfaces ne peuvent avoir un point commun non situé sur les coniques G et G', sans quoi elles coïncideraient, en vertu du théorème précédent. La ligne d'intersection se compose donc des deux coniques G et G'.

o87. Corollaire. Une sphè?*e passant par une section cireulaire d'une surface du second ordre coupe la surface suivant un second cercle. Car, dans ce cas, la ligne d'intersection de la surface et de la sphère se compose de deux courbes planes.

D'après cela, toute section circulaire dont le plan passe par le centre de la surface appartient à une sphère concentrique coupant la surface suivant deux courbes planes. On obtient donc tous les plans cycliques passant par le centre, en cherchant les sphères concentriques qui coupent la surface suivant deux courbes planes. C'est la méthode analytique suivie au n° 517. Pour chaque sphère, le système des deux plans cycliques est représenté par une équation homogène et du second degré en x, y, z.

588. Théorème V. Quand deux surfaces du second ordre se touchent en deux points, elles se coupent suivant deux courbes planes, sauf dans un cas exceptionnel.

Considérons deux surfaces du second ordre qui se touchent en deux points a et b. Soit c, un troisième point c ommun aux deux surfaces; par les trois points a, b, c faisons passer un plan P, ce plan coupera chacune des surfaces suivant une conique; ces deux coniques ont trois points communs a, b, c et les mêmes tangentes en deux points a et b; donc elles se confondent (n° 280). Puisque le plan P coupe les deux surfaces suivant la même courbe, il résulte du théorème IV que la ligne d'intersection des deux surfaces est formée de deux coniques.

La démonstration précédente suppose que les plans tan gents en a et en b ne se coupent pas suivant la droite ab~ Si ce cas exceptionnel se présente, la droite ab fait partie de l'intersection, car elle coupe chacune des surfaces en quatre points, deux confondus en a et deux en 6; elle est donc tout

entière sur chacune des deux surfaces. L'intersection totale des deux surfaces, devant être une courbe gauche du quatrième ordre, se compose alors de la droite ab et d'une courbe gauche du troisième ordre nommée cubique gauche qui rencontre ab en a et 6.

Dans des cas plus particuliers encore, celte cubique gauche peut à son tour se décomposer en une droite et une conique ou en trois droites. Ainsi, lorsque les deux surfaces ont en commun une deuxième génératrice cd de système différent de ab, c'est-à-dire dans un même plan ave ab, elles se coupent suivant une première courbe plane formée par les deux droites ab et cd : le restant de l'intersection est alors une deuxième courbe plane, c'est-à-dire une conique qui peut d'ailleurs être décomposée en droites (th. IV).

Lorsque les deux surfaces ont en commun, outre ab, une génératrice a'b' du même système que ab, le restant de l'intersection est une courbe du second ordre qui ne peut pas être plane, car, si elle l'était (th. IV), les deux droites ab et a'b' seraient dans un même plan : le restant de l'intersection est donc formé de deux droites cd et c'd' non situées dans un même plan : ces deux génératrices cd et c'd' appartiennent à un même système différent de celui auquel appartiennent ab et a'b', car deux surfaces ayant quatre et même trois génératrices communes d'un même système coïncident (546, 566 et58i).

589. Théorème VI. Lorsque deux surfaces de second ordre se touchent -en trois points non situés en ligne droite, elles se raccordent le long d'une ligne plane, sauf dans un cas exceptionnel.

Considérons deux surfaces de second ordre qui se touchent en trois points a, b, c; ces surfaces n'ont pas de point commun en dehors du plan P déterminé par les points a, b} c; car, si elles avaient un point commun d en dehors du plan, P d'après le théorème V, chacun des trois plans dab, dbc> dea couperait les deux surfaces suivant la même conique, ce qui est impossible. Les deux surfaces sont coupées par le plan P suivant une même conique G; il est aisé de

\Toir qu'elles ont le même plan langent en chaque point m de la courbe. En effet, le plan P a même pôle par rapport aux deux surfaces puisque ce pôle p est à l'intersection des plans tangents en a, b et c. En un point quelconque m de la conique C, le plan tangent à chacune des deux surfaces doit contenir la tangente en m à G et passer par le points; les deux surfaces sont donc tangentes en m. On dit qu'elles se raccordent le long de la conique G.

Gette démonstration suppose qu'aucun des trois plans tangents communs en a, betc ne coïncide avec le plan abc. Si le plan tangent en un point, a par exemple, coïncidait avec abc, les deux droites ab et ac feraient partie de Tintersection, car la droite ab, couperait chacune des surfaces en trois points, deux confondus en a et un placé en b; elle serait donc tout entière sur chaque surface : de même pour ac. Les deux surfaces ayant alors en commun la conique formée par les deux droites ab et ac se coupent suivant une deuxième conique G qui rencontre la première ab, ac aux points b et c.

o90. Corollaire I. Nous avons vu que l'équation S— ka$=o représente une surface du second degré qui passe par les courbes d'intersection de la surface S = o avec les plans a = o, p = o. Il en résulte que les surfaces représentées par l'équation

(5) S -kv}=o

sont tangentes à la surface S suivant la courbe d'intersection G de cette surface et du plan a.

L'équation (5) renferme un paramètre arbitraire k qui permet de faire passer la surface par un point arbitraire; d'autre part on démontre, comme au n° 583^ qu'une surface qui doit être tangente aune surface du secondordre entouslespoints d'une courbe plane et passer par un point donné est complètement déterminée. Onpeutdoncregarder l'équation (5) comme l'équation générale des surfaces du second [ordre qui se raccordent avec la surface S le long de la conique déterminée par le plan a.

891. Corollaire IL Deux coniques G et G7, tracées sur une même surface du second ordre S, se coupent en deux

points a et b ; la corde ab est la droite d'intersection des plans des deux coniques ; il en résulte que deux surfaces du second ordre, qui se raccordent avec la première surface suivant deux coniques C et C, se touchent en deux points a et b, et par conséquent, en vertu du théorème V, se coupent suivant deux courbes planes. Les équations des deux surfaces étant de la forme

les deux coniques qui composent la ligne d'intersection sont situées dans les plans £a2 = AV2.

592. Cherchons, comme application, l'équation du cône circonscrit à un ellipsoïde

tr\ x* . y2 i *2

et ayant pour sommet un point donné p dont les coordonnées sont #i> Vu zi* Le plan de contact ayant pour équation

l'équation générale des surfaces du second degré qui se raccordent avec l'ellipsoïde suivant la conique déterminée par ce plan est

X2 y2 Z2 ,ψs y y ^ V

& + v + *-l-h\lfi+-br + -*-1) -°-

Si l'on prend k de manière que l'équation précédente soit vérifiée par les coordonnées a?1? yu zt du point p, elle représentera le cône circonscrit, puisqu'il n'existe qu'une surface du second degré tangente à l'ellipsoïde suivant la courbe considérée et passant par le point p; on obtient ainsi l'équation