DISTANCE DE DEUX POINTS
55. Supposons d'abord les axes rectangulaires et cherchons la distance de l'origine à un point M dont nous appellerons a? et y les coordonnées . Dans le triangle rectangle OPM (fig. 37), on a
OM = OP + PM = x* + y\ quelle que soit la position du point M dans
Fig. 37.
le plan; d'où l'on déduit, en désignant par / la distance OM,
Cherchons maintenant la distance des deux points M et M', situés d'une manière quelconque dans le plan ; nous appellerons
TRANSFORMATION DES COORDONNEES.
x et y les coordonnées du point M, x' et y' celles du point M', par rapport aux axes rectangulaires OX, OY. Par le point M (fig. 38) menons des axes MX', MY', parallèles aux axes proposés; les coordonnées du point M' relatives à ces nouveaux axes sont égales k x' — x, y' — y, en vertu des
formules (2) du n° 49. La distance / de la nouvelle origine M
au point M' sera donc, d'après la formule (10),
Mi^
^Ml'
Fig. 38.
'■ + {y'-yf
*>6. Quand les axes sont obliques et font entre eux l'angle 0, l'expression de la distance est un peu plus compliquée. Cherchons d'abord la distance de l'origine 0 à un point quelconque M du plan.
Dans le triangle OPM (fig. 59), quelle que soit la position du point M ,
on a
ÔM2=ÔP2 + PM2 — a.OP.PMcosOPM.
Quand le point M est situé dans l'angle YOX, les coordonnées a?
et y de ce point sont égales à + OP et à + PM, et l'angle OPM
est le supplément de l'angle 0 ; on a donc
{12) l~\/x2 Jry2-\~2xy cos 0.
Si le point M est situé dans l'angle Y'OX', les coordonnées x et y étant égales à — OP et à — PM, et l'angle OPM le supplément de 0, on obtient la même formule (12). Quand le point M est situé dans l'un des angles YOX', Y'OX, l'angle OPM est égal à 0, mais l'une des coordonnées est positive, l'autre négative, ce qui reproduit encore la formule (12). Cette formule est donc générale.
Pour avoir la distance de deux points M et M', on imaginera, comme précédemment, par le point M des axes parallèles aux ■premiers, et l'on obtiendra la formule
l=\/(x'-x¥ + (y'-y¥ + 2{xf-x){y'-y)cosS.
87. On a souvent besoin des coordonnées du point qui partage dans un rapport donné la droite qui joint deux points donnes. Lorsque plusieurs segments sont situés sur une même droite, on appelle sens d'un segment MM' le sens dans lequel marche Fig. 40. Un mobile partant du premier point M
et allant vers le second M'. La valeur algébrique du rapport de deux segments est alors la valeur absolue de ce rapport, précédée du signe + ou du signe — , suivant que les deux segments sont dirigés ou non dans le même sens.
Ainsi, dans la figure (4o), le rapport r—^~ est positif, les
, MMt MiM , , ,.„ rapports • ... , ct-tf, sont négatifs.
^ M2M' ' MiM' 6
Étant donnés, sur une droite indéfinie, deux points M et M'
ayant pour coordonnées x et y , x' ety' , cherchons sur cette
droite un point Mi de coordonnées xx et yt, tel que le rap-
portr— — ait une valeur donnée en grandeur et en signe — . r MiM m
Si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au
point Mi , les coordonnées nouvelles du point M et du point M''
seront # — xl et y — y,, x' — #, et y' — y4. Lorsque le rapport
donne — est négatif, le point cherché Mj doit se trouver
entre M et M'; c'est le cas de la figure. Les différences x — xi
et x' — Xi ou y — yi et y' — yA sont de signes contraires; leur
rapport est négatif et la valeur absolue de ce rapport est
égale à la valeur absolue de ^rrr, ou de —, On a donc, en
MiM m
grandeur et en signe,
x—x{y—yi m'
x —Xi y —yx m
Lorsque — est positif, le point cherché M4 se trouve en
dehors du segment MM' ; les différences x — Xi et x' — x* ou y — yi et y' — y, sont de mêmes signes; leur rapport est
positifetégalau rapport- * ou à — . Donc les équations (i 4) conviennent aussi à ce cas. On en tire les formules suivantes
ffl'
qui résolvent la question pour toutes les valeurs du rapport — mx — m'x' my — m'y'
Remarque. Considérons le point M2 dont les coordonnées x2 et y 2 se déduisent des précédentes par le changement de signe de m'
mx -)- m'x' my -\-m 'y'
Ce point sera tel que l'on ait
MiM __ M2M rri%
MiM'— MjM, — m'
on dit que ces points Mi et M2, correspondant à des valeurs
égales et de signes contraires du rapport — , sont conjugués
harmoniques par rapport au segment MM'. Lorsque le rapport
donné — est égal à — 1 , le point M4 devient le milieu du m
segment MM' et a pour coordonnées
le point M2 s'éloigne à l'infini.
Si l'on pose — = ■— -X, on voit que les deux points conju-
ra
gués Mi et M2 ont pour coordonnées
x — \x* y — 'kif
