CLASSIFICATION DES LIGNES PLANES

58. On emploie surtout les coordonnées rectiîignes pour l'étude, des propriétés générales des lignes planes. Dans ce système, on classe les lignes de la manière suivante .* on les distingue d'abord en algébriques et transcendantes, suivant

que les équations qui les représentent sont algébriques ou transcendantes. Une équation est dite algébrique lorsque les coordonnées x et y n'y entrent qu'affectées des signesd'opérations algébriques. Mais, si l'une des coordonnées entre sous un signe transcendant, comme un sinus, un logarithme, etc., l'équation est dite transcendante. On peut toujours mettre les équations algébriques sous la forme entière,, en faisant disparaître les radicaux et les dénominateurs.

On classe ensuite les lignes algébriques d'après le degré de leurs équations. Les lignes du premier degré sont celles qui sont représentées par des équations du premier degré en x et y ; l'équation du second degré donne les lignes du second degré, etc.

Il est aisé de voir que le degré d'une ligne reste le même, quelle que soit la position des axes des coordonnées dans le plan. En effet, soit f{x,y) = o l'équation d'une ligne rapportée à de certains axes OX et OY, m le degré de cette équation supposée entière (dans l' évaluation du degré, on ne tient compte que des coordonnées x et y). Pour rapporter cette ligné à d'autres axes O'X' et OT', on substituera à a? et y dans l'équation les valeurs données par les formules de transformation (8); ces formules étant du premier degré par rapport aux coordonnées x' et y', il est impossible que l'équation en x' et y' soit d'un degré supérieur km. Elle ne sera pas non plus d'un degré moindre ; car alors la transformation inverse élèverait le degré, ce qui est impossible. Ainsi, la nouvelle équation est du même degré que l'équation primitive.

Le degré d'une ligne indique en combien de points au plus la ligne peut être coupée par une droite. En effet, soit m le degré d'une ligne, / (x, y) = o l'équation qui la représente lorsqu'on prend la droite pour axe des x; si dans cette équation on fait y = o, l'équation en x ainsi obtenue donnera les abscisses des points du lieu qui ont une ordonnée nulle, c'està-dire les points communs à ce lieu et à l'axe des x, Quand le premier membre de l'équation n'est pas identiquement nul, comme il est au plus du degré m, l'équation n'a pas plus de m racines, et, par conséquent, la droite a au plus m points communs avec la ligne. Si l'équation était vérifiée par plus

TRANSFORMATION DES COORDONNEES. 55

de m valeurs de x, le premier membre serait identiquement nul, et, par conséquent, la droite entière ferait partie du lieu ; dans ce cas, le polynôme/"^, y) devenant identiquement nul, quand on y fait y= o, contiendrait y en facteur et J'équation f(x, y) = o se décomposerait en deux, l'une y = o du premier degré, l'autre du degré m — 1.

D'après cela, les lignes du premier degré, ne pouvant être coupées par une droite en plus d'un point, sont des lignes droites. Les lignes du second degré ne peuvent être coupées par une droite en plus de deux points ; celles du troisième degré en plus de trois points. Le cercle, l'ellipse, l'hyperbole et la parabole sont des courbes du second degré (nos 10, i3, i5, 18); ces courbes peuvent être coupées en deux points par des droites. La cissoïde et la strophoïde (nos 21 et 24) sont du troisième degré; ces courbes peuvent être coupées en trois points par des droites. Le limaçon de Pascal (n° 27) est du quatrième degré, la rosace à quatre branches (n° 3o) du sixième degré.

Nous étudierons d'abord les lignes du premier degré, puis celles du second degré, et ensuite les lignes d'un degré quelconque.

Quand on dit qu'une équation algébrique et entière du degré m représente une courbe du degré m, on suppose que le premier membre n'est pas décomposable en un produit de facteurs entiers ; autrement l'équation représenterait deux ou un plus grand nombre de lignes d'ordres inférieurs. Ainsi, par exemple, une équation du second degré, dont le premier membre est le produit de deux facteurs entiers du premier degré, représente deux lignes du premier degré, c'està-dire deux droites. De même, une équation du troisième degré peut représenter trois droites, ou une ligne du second degré avec une ligne droite. C'est pourquoi certaines propriétés des lignes de l'ordre m s'appliquent au système de m droites, c'est-à-dire au polygone de m côtés. Ainsi nous verrons que des propriétés des courbes du second degré -s'appliquent au système de deux droites, parce que ce système peut être considéré comme un lieu du second degré.