Si l'on pose, pour abréger

11 ~ a2 + 62 + C2 x' l'équation précédente, développée, devient

<»> (-*)ÏH-(-#)fi+("-*)S

2/i^l zi%i &\Vi XaX VéV Z*Z

THÉORÈMES SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 69o

La condition (6) du n<> 478, donne le lieu des sommets des cônes circonscrits à l'ellipsoïde (6) et capables d'un angle trièdre trirectangle inscrit ; ce lieu est l'ellipsoïde

(9) (ô2-fc2K + (c2 f a2)2/J + (a2 + 62) z\ = bW + c*a* + a262.

La condition (7) du même numéro 478, donne le lieu des sommets des cônes circonscrits à l'ellipsoïde (6) et capables d'un angle triMre trirectangle circonscrit ; ce lieu est la sphère

que nous avons déjà trouvée au n° 5 18.

Nous ferons remarquer que chacun des points de la surface de cette sphère est le sommet d'une infinité d'angles trirectangles circonscrits à l'ellipsoïde; c'est pourquoi, dans le calcul du n° 5i8, on a pu éliminer les neuf cosinus entre les équations des trois plans tangents et les six relations qui existent entre ces cosinus. En général, le lieu des sommets des angles trièdres trirectangles circonscrits à une surface donnée est un volume.

De même, chacun des points de l'ellipsoïde (9) est le sommet d'une infinité d'angles trièdres trirectangles ayant leurs arêtes tangentes à l'ellipsoïde proposé.

594. Théorème VIL Lorsque deux surfaces du second ordre admettent le même plan diamétral pour une certaine série de cordes parallèles, la projection de la ligne d'intersection sur ce plan, parallèlement aux cordes, est une conique.

On sait que l'élimination de z entre deux équations du second degré à trois inconnues x, y, z conduit, en général, à une équation du quatrième degré entre x et y. Ainsi la ligne d'intersection de deux surfaces du second degré se projette généralement sur un plan suivant une courbe du quatrième degré. Certains cas font exception. Considérons deux surfaces du second degré qui ont le même plan diamétral pour une même série de cordes ; si l'on prend ce plan diamétral pour plan des xy et une parallèle aux cordes pour axe des z, les équations des deux surfaces auront la forme Az2-f-C— 0, A'z2-\-C'—o, Cet C désignant deux polynômes du second degré qui ne renferment que les deux variables x et y, A et A' deux constantes. L'élimmation de z entre les deux équations précédentes donne une équation du second degré A'C — AC = 0. C'est l'équation de la projection de la ligne d'intersection des deux surfaces sûr le plan diamétral. Lorsque les deux surfaces ont une droite

commune, la ligne d'intersection des deux surfaces se projette sur un plan quelconque suivant une ligne droite et une courbe du troisième degré,

893». Théorème VIII. Par la ligne d'intersection de deux surfaces du second ordre passent quatre cônes du second degré.

Soient

les équations des deux surfaces, rendues homogènes. L'équation

dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représente toutes les surfaces du second degré qui passent par la ligne d'intersection des deux premières. On exprime que cette surface est un cône (n° 579) en égalant à zéro le déterminant des quatre équations homogènes et du premier degré

!kfx-)rix =0, kf't-\-yt =0.

On obtient ainsi une équation du quatrième degré en k; on en conclut que par la ligne d'intersection des deux surfaces données passent quatre cônes, réels ou imaginaires.

596. Corollaire. Par deux coniques situées dans des plans différents et qui se coupent en deux points, passent deux cônes du second degré.

On peut considérer les deux coniques comme la ligne d'intersection d'une surface du second ordre f= o et du système de deux plans <ç-=xy = o. Les deux dernières des équations (i3) se réduisant à kf'% —0, kf't = o, le déterminant contient k2 en facteur. A la racine double k = 0 correspond le système des plans des deux coniques. Après la suppression de ce facteur, l'équation du second degré en k donne deux cônes.

597> L'intersection de dettx. surfaces de second ordre S = o > S' = o est, en général, une courbe gauche du quatrième ordre que l'on nomme biquadratique gauche. Cette courbe est telle que, par un point A de l'espace, on peut mener deux droites (réelles ou imaginaires) s'appuyant chacune en deux points sur la courbe. En effet, parmi les surfaces du second ordre S -j- X S' = o qui passent par la biquadratique gauche, il s'en trouve une qui passe par le point A; sur cette surface particulière on peut mener deux génératrices réelles ou imaginaires par le point A : chacune d'elles rencontre la courbe en deux points qui sont les points où elle rencontre Tune ou l'autre des deux surfaces S = o , S' = o.

Il est important de remarquer qu'il existe d'autres courbes gauches du quatrième ordre; ces courbes sont unicursales et s'obtiennent comme il suit. Sur une surface de troisième ordre S3 prenons deux droites Gi et G2 non situées dans un même plan et faisons passer par ces deux droites une surface du second ordre S2. L'intersection des deux surfaces Sa et S2 est une courbe gauche du sixième ordre formée des deux droites G1? et G2 et d'une courbe gauche G du quatrième ordre0 Les génératrices G de la surface du second ordre S2 qui sont du même système que Gt et G* rencontrent la courbe G en trois points qui sont les points où ces génératrices rencontrent la surface S3; les génératrices de S2 de l'autre système rencontrent la courbe G en un seul point, car elles rencontrent la surface S3 en trois points dont deux sont situés sur les droites GA et G2. Il résulte delà que la courbe G n'est pas une biquadratique gauche, car la surface S2 est la seule surface du second ordre passant par la courbe. En effet, soit S'2 une surface du second ordre passant par G, toutes les génératrices de S2 du système G rencontrent la courbe, c'est-àdire S'2, en trois points; elles appartiennent dans toute leur étendue à la surface S'2 qui, par suite, coïncide avec Sa.