A 13 KA

un point donné passent trois surfaces du second degré, homofocales à «ne surface donnée; de ces trois surfaces, Tune est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloïde à deux nappes.

180 Les équations

rr.2 ?/2 72

dans lesquelles on suppose a>6>c,p<c, c<'^<6, 6<r<a, représentent des surfaces homofocales : la première est un ellipsoïde, la seconde unf hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloïde à

deux nappes. Démontrer : i° que ces surfaces se coupent deux à deux à «mgle droit; 20 que les deux courbes suivant lesquelles une des surfaces est coupée par les deux autres ont pour tangentes en leur point d'intersection des droites parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point,

190 A un ellipsoïde donné on circonscrit un cône ayant pour sommet un point donné; démontrer que les trois axes de ce cône sont les normales aux surfaces homofocales à l'ellipsoïde proposé et passant par le point donné.

2o° Étant données deux surfaces homofocales, trouver une surface de révolution du second degré ayant pour axe l'un des axes de ces surfaces et à laquelle appartienne la ligne d'intersection.

ai0 Étant donnés les paraboloïdes homofocaux représentés par Péquation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire; si Ton attribue au paramètre X deux valeurs telles que les paraboloïdes correspondants se coupent, ils se couperont à angle droit. Lorsqu'un paraboloïde est coupé par deux autres d'espèces différentes, les tangentes aux deux lignes d'intersection au point commun sont parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

220 Étant donnés deux paraboloïdes homofocaux, trouver une surface de révolution du second degré ayant pour axe l'axe commun des paraboloïdes et à laquelle appartienne la ligne d'intersection.

23° Étant données une surface du second ordre et deux droites tangentes à cette surface, trouver la surface engendrée par une droite qui glisse sur les deux droites données en restant tangente à la surface donnée.

240 Trouver le lieu du sommet d'un angle trièdre circonscrit à un ellipsoïde, et dont les faces sont parallèles à trois plans diamétraux conjugués d'un autre ellipsoïde.

a5° Trouver le lieu du sommet d'un cône de révolution circonscrit à un ellipsoïde donné.

260 Par les divers points d'une section plane d'un cône de révolution on mène des normales à la surface; trouver le lieu du second point de rencontre de chacune des normales avec la surface.

270 Une droite se meut de telle sorte que trois de ses points restent dans trois plans iixes ; quel est le lieu décrit par un point quelconque de la droite mobile ?

280 Un cône a son sommet au centre d'un ellipsoïde et pour base la courbe d'intersection de l'ellipsoïde et d'une sphère concentrique ; tout

plan tangent au cône coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse dont J'arête de contact est l'un des axes.

a?2 v2 <s2 290 On coupe l'ellipsoïde -% + fè + —2~~ l — ° Par *e P*an

œ cos a + y cos p + z cos y = o ; démontrer que les axes de la section sont déterminés par l'équation a2 cos2 a b2 cos2 p c2 cos2 y __ a2 — r2 ô2 — r2 + c2 — r2 ~~ °' dans laquelle %r désigne la longueur de l'un des axes.

3o° Deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points peuvent être inscrites dans un même cône du second degré.

5i° Deux ellipsoïdes se touchent suivant une courbe plane; on mène un plan tangent à l'un des ellipsoïdes parallèlement aux sections circulaires de cet ellipsoïde ; ce plan coupe l'autre ellipsoïde suivant une ellipse dont l'un des foyers est au point de contact.

32° Étant données deux coniques concentriques dont les axes ont les mêmes directions, trouver le lieu d'un point tel que les cônes qui ont ce point pour sommet, et pour directrices les deux coniques, soient égaux entre eux.

33° Par le centre O d'un ellipsoïde on fait passer un plan sécant quelconque P, qui coupe la surface suivant une ellipse, et au point O on élève une perpendiculaire au plan P sur laquelle on porte des longueurs om, om', égales aux deux axes de l'ellipse E ; trouver l'équation de la surface décrite par les deux points m et m! et étudier la forme de cette surface. On déterminera, en particulier, les points par lesquels passent plusieurs nappes de la surface et les cônes tangents à la surface en ces points, les plans qui touchent la surface en plusieurs points et les cônes qui ont leur sommet au centre de l'ellipsoïde et dont les directrices sont les courbes formées par les points de contact avec un même plan tangent.

34° Trouver le lieu des centres des surfaces du second degré tangentes à sept plans donnés.

35° Trouver le lieu des centres des ellipsoïdes tangentes à six plans donnés et tels que la somme des carrés de leurs axes soit égale à une quantité donnée.

36° Une courbe située sur un ellipsoïde est telle que la surface réglée formée par les normales en ses différents points coupe un plan principal suivant un cercle de rayon donné ; démontrer que la projection de cette courbe sur le plan principal est une ellipse d'aire donnée,

070 Les deux surfaces % — xy — o , %z — if = o se coupent suivant une courbe gauche du quatrième ordre qui n'est pas une biqua&ra» tique gauche. Démontrer

i° Que cette courbe est unicursale.

a0 Que les génératrices de l'un des systèmes du paraboloïde £ — xtf = o rencontrent la courbe en trois points, celles du second système en un seul point.

38° On coupe la courle de l'exercice précédent par un plan quelconque; démontrer que les abscisses des points d'intersection sont telles que la somme de leurs produits deux à deux est nulle. Former l'équation du plan osculateur à la courbe en un point d'abscisse %. Démontrer que les points de contact des plans osculateurs menés à la courbe par un point P de l'espace sont sur un pian passant par P.

390 Étant données deux droites D et D' dans l'espace on désigne par 8 et ô' les distances d'un même point M à ces deux droites. Trouver le lien géométrique des points M pour lesquels on a a52 j p<$'2 = y

a, p,y désignant des constantes.

Le lieu est une surface du second ordre. Réciproquement, une surface du second ordre étant donnée, chercher si elle peut être définie de cette façon et, dans le cas de l'affirmative, déterminer les droites D et D' et les coefficients a, p, y-

Pour qu'une surface du second ordre puisse être engendrée de cette façon, il faut que Tune des racines de l'équation en S correspondante soit égale* à la somme des deux autres.

4o° Lieu géométrique des sommets des cônes qui passent par une parabole donnée et qui admettent un système de plans de sections circulaires rectangulaires.

599. Les équations d'une droite dans l'espace étant mises sous la forme (i) x = az-\-a' , y = bz-{-b'

on peut appeler les quatre coefficients a, 6, a', V les coordonnées de la droite : à chaque système de valeurs de ces quatre coefficients répondra une seule droite et inversement à chaque droite répondra un seul système de valeurs des quatre coordonnées a, b, a\ b'.

Si l'on établit une relation

(2) F(a,b9ct,V)=o

entre ces quatre coordonnées, les droites (î) dont les coordonnées vérifient cette relation forment ce que l'on appelle un

complexe de droites et réquation (2) est dite l'équation du complexe.

Exemple : La condition nécessaire et suffisante pour que la droite (1) soit tangente à la sphère

s'exprimant par la relation unique

(3) (aar + bb'y — (a2 + £2 + 1 ) (a'2 + ô'2— R2) = o,

on dira que les droites tangentes à la sphère forment un complexe, et l'équation (3) sera appelée l'équation de ce complexe.

600. Au lieu de définir une droite à l'aide de quatre coordonnées a, b, af, b' il est plus commode d'introduire avec Plûcker le système suivant de coordonnées.

Pour définir une droite prenons sur elle deux points

W{x\y',z') et M'' (*'',*/ V'')î les équations de cette droite seront

et ses projections équations

sur

les plans

coordonnées

auront

pour

yx — az - [ aty — p# :

en posant

(5) a=rf — a?

r — ot

Les six coefficients

«>P, Y>P»?»r seront les coordonnées de la droite d'après Plûcker. Ces six coordonnées sont liées par la relation identique

(6) pot -f- q$ -f- ry = 0

ainsi qu'on le vérifie immédiatement.

Si Ton remplace les deux points M' et M" par deux autres

GEOM. ANALYT. 43

points pris sur la même droite, les six coordonnées (5) ne font que varier proportionnellement. Ce fait qu'il serait facile de vérifier directement résulte de ce que les équations (4) des projections de la droite sur les plans de coordonnées ne doivent pas changer. Inversement si l'on a six nombres

dont les trois premiers ne sont pas tous nuls et qui vérifient la relation (6), ces six nombres définissent une droite et une seule qui reste la même quand les six nombres varient proportionnellement. En effet, si la condition (6) est remplie sans que a, p, y soient nuls tous trois, les équations

P* — yy=p

yx — az = q

ay — $x = r

représentent trois plans passant par une même droite, car en multipliant la première de ces équations par a, la deuxième par p, la troisième par y et ajoutant on obtient une identité. Ces trois équations définissent donc une droite et une seule qui ne change évidemment pas quand a, p, y5jp, q,r varient proportionnellement.

Au lieu de définir une droite par deux de ses points, on peut la considérer comme l'intersection de deux plans P' et P" ayant pour équation

ux + v'y + w'z -j- 1 = o

Les projections de la droite sur les plans de coordonnées auront alors pour équations

(t*V — w'u")z — (v'u" — v!vv) y = u' — u (vV — u'v") x — (w'v" — v'vf)z = v' — v" {w'v" — v'w")y — [u'w" — w'u")x = w' — w"

En comparant avec les équations (4) on voit que l'on peut poser aussi

ja=wt/' v'w" , p=t*'i0"— ufu" , Y = »'«*" — u'v"

On a ainsi par les équations (5) et (7) deux expressions différentes des coordonnées d'une droite, suivant que l'on considère la droite comme définie par deux points pris sur elle ou par deux plans passant par elle.

Remarque. Si l'on rend les équations (4) de la droite homogènes en remplaçant %, y,z, #', y\ *>, x\ y", z" par - , - , - ?

-p , S » -9 » — > t- > - et chassant les dénominateurs,

L tôt L t

ces équations prennent la forme

Pz — yy=pt , yx — 0LZ=qt , ay — $x = rt et les coordonnées de la droite ont pour expressions

i*=aff-w , ?=yr-ty , y = w-tf

w ( p = y'z" — z'y" , qœzW — xY , r = x'y" — y'x".

De même, si l'on prend les équations des deux plans P' et P" qui définissent la droite sous la forme homogène

t/# -j- v'y + e^'s + h't aES: ° > w"# 4" v"y + w"2 H~ ^"* = o^ on aura

{?)' <p = u'h!'—h!u!' , q = v'h''—h'v" , r = ti?'A" — AV

Ces formules permettent de supposer que l'un des points M', M;/ est à l'infini ou que l'un des plans P', P" passe par l'origine. Par exemple, si le point M' est à l'infini on fera f = 0 , et si le plan P' passe par l'origine on fera h' = 0.

Complexes. Gomme les équations (4) d'une droite sont homogènes par rapport aux coordonnées a, p, y,p, q, r, toutes les conditions géométriques imposées à une droite s'exprimeront par des relations homogènes entre ses six coordonnées.

L'ensemble des droites dont les coordonnées vérifient une relation homogène,

constitue un complexe de droites; l'équation (8) est l'équation du complexe, et le degré de cette équation s'appelle l'ordre du complexe

601. Exemple I. Les droites dont les coordonnées vérifient l'équation du premier degré

(9) Aa + Bp + Cy + D/) + Eï + Fr = o,

où A, B, G, D, E, F sont des constantes, forment un complexe du premier ordre.

Par un point de l'espace il passe fine infinité de droites appartenant à ce complexe; toutes ces droites sont situées dans un même plan. En effet appelons W(x', y\ z',) un point fixe de l'espace et sur une droite du complexe passant par ce point prenons un point M" {x\ y\ z1') ; les coordonnées de la droite seront alors données par les expressions (5) et comme cette droite appartient au complexe, ses coordonnées vérifient l'équation (g) qui devient

A (*' - x") + B y - y") + C(s' - z") + D (yY - z'y»)

Cette équation étant du premier degré en x\y\ z" et étant évidemment satisfaite pour x" = x' , yv = y' , z"»=j;', le lieu du point M" et, par suite de la droite M'M" est un plan passant par le point M', ce que nous voulions établir.

Inversement, dans un plan quelconque il existe une infinité de droites appartenant au complexe; toutes ces droites passent par un même point. En effet appelons (iï, v\ w') les coordonnées d'un plan fixe P' et, par une droite du complexe située dans ce plan, menons un plan P" de coordonnées (u\ v", w") ; les coordonnées de la droite seront alors données par les expressions (7) et l'équation (9) deviendra

A (u/vT — v'w") + B (u'w" — w'u") 4- G (v V — u'v") + D (u' — u") + E(t/ — v")+F(u/ — uf)=:o.

Cette équation étant du premier degré en u", v", w" et étant vérifiée pour u" — u', v" = v', w" = w' , l'enveloppe du plan P" et, par suite, de la droite d'intersection des plans P' et P" est un point situé dans le plan P'.

* Exemple IL Étudions le complexe formé parles droites D de l'espace qui sont perpendiculaires à leurs conjuguées par rapport à un ellipsoïde donné

Soit D une droite du complexe ayant pour coordonnées «5 p, y,/?, ?, r. Prenons sur cette droite deux points M' (x',y',z'), M" {x'\ ij\z") ; la droite Df conjuguée de D par rapport à l'ellipsoïde est l'intersection des plans polaires des deux points M' et M;/, c'est-à-dire des deux plans xx' . vii' . zz'

fl2 é2 ci

K > xx" , yy" , zz"

Les cosinus directeurs de cette droite D' sont proportionnels aux quantités

y'z" zfy" z'x" — xr z" x'y" — y'x" ô*c2 ' c2a2 ? a2ô2

c'est-à-dire à

Wc1 u c^ô* ' ô^T2' d'autre part les cosinus directeurs de la droite D sont proportionnels à

tf — af , tf — tf z'-z% c'est-à-dire à

Comme ces droites sont rectangulaires, on a la condition

(io) ofap + i»pg + cV = o

qui est l'équation d'wn complexe du second ordre formé par lea

droites D.

Le lieu de celles de ces droites D qui passent par un point fixe M! (x', y', z') de l'espace est un cône du second ordre. En effet, si par le point fixe M' on mène une droite D du complexe et si Ton prend un point M" [x", y\ z") sur cette droite, les coordonnées de la droite D seront données par les formules (5) et l'équation (io) deviendra

(î î) a* 0' — x") {y' z" — zry")+ à* (yr — y") {z'x" — x'z") +• c* {z' — z") (x'y" — y'x") = o.

Si Ton considère x"y" z" comme coordonnées courantes, cette équation représente un cône du second ordre ayant pour sommet le point M' : ce cône passe par l'origine et par les parallèles aux axes menées par le point M'. Si l'on rapporte le cône à ces trois parallèles, les coordonnées nouvelles du point M* seront x" — - xr , y" — y' , z" — zr , c'est-à-dire — a, — P> — T et l'équation du cône deviendra (n) jfyz' (b'2 — c2) + yay' (c2 — a2) + «pzf (a2 — 62) = o.

Il est facile de voir sur les équations précédentes que ce cône se décomposera en deux plans quand le point M' (#', y\ z') sera situé dans un des plans principaux de l'ellipsoïde ou à l'infini.

L enveloppe de celles des droites D du complexe qui sont situées dans un plan fixe Pf est une courbe de seconde classe.

En effet soient (w, v', w') les coordonnées du plan P' dont l'équation sera

ur x -f- v'y -f- w'z -f- 1 = o .

Prenons dans ce plan une droite D du complexe et faisons passer par cette droite un plan P" ayant pour équation

u"x -\- v"y -j- iv"z -j-i = o.

Alors les coordonnées de la droite D seront données par les formules (7) et l'équation (9) donnera

{12) a2 (ur — u") (w'v" — v'iv") + b* (v' — v") (u'w" — w'u")

Si l'on considère u" v" w" comme coordonnées tangentielles courantes, cette équation qui est homogène et du second degré en u" — u' , v" — v' , w" — w' est l'équation tangentielle d'une courbe de seconde classe située dans le plan P' (n° 505 bis). L'équation (12) étant vérifiée quand u", v\ w" tendent vers zéro, c'est-à-dire quand le plan P s'éloigne indéfiniment, la courbe de seconde classe, enveloppe des droites D, a une tangente éloignée indéfiniment; elle est donc une parabole si elle n'est pas décomposée, en deux points.

Formons l'équation tangentielle du cône ayant pour sommet l'origine et passant par la courbe de seconde classe enve-

loppée par les droites D du plan P'. Cette droite D est Tintersection des deux plans

u'x -f- v'y -f- wrz -f- 1 = o u"x-\-v"y-\-w"zJr i =o;

donc le plan

(u" — v!) x -f 0" — i/) y -f (w,r — w')z = o ou (i3) p# -f- çy + ^ = °

est le plan passant par l'origine et la droite D. Comme on a

u" = iï — p y v" = vr — q , w" = wr — r l'équation (12) donne entre p, q, r la relation (14) qrur (62 — c2) + rpv' (c2 — a2) + pqw' (a2 — b*) — o.

On peut dire que cette équation est l'équation tangentielle du cône enveloppé par le plan (i3). Ce cône est tangent aux trois plans coordonnés, car l'équation (14) est vérifiée quand deux des trois quantités p, q, r s'annulent. Donc, dans le plan, la courbe enveloppe des droites D est une parabole tangente aux trois plans coordonnés.

Il est facile de voir que cette parabole se décompose en deux points quand le plan P' est parallèle à l'un des deux axes, ou passe par l'origine.

602. On verra de même, d'une façon générale, que si on a un complexe d'ordre m défini par une équation homogène de degré m en a, p, y, p, q, r,

9(a,p,Y,/>,?,r) = o, celles des droites de ce complexe qui passent par un point donné de l'espace formant un cône d'ordre m, et celles de ces droites qui sont situées dans un plan donné enveloppent une courbe de mième classe.

Les équations ponctuelles du cône et les équations tangentielles de l'enveloppe s'obtiendront immédiatement comme dans l'exemple précédent.

L'ensemble des droites appartenant à la fois à deux complexes d'ordres m et n forme une congruence. Par un point de l'espace, il passe mn droites de la congruence, et dans un plan de l'espace il y a mn de ces droites.

603. Signification géométrique des coordonnées d'une droite. — Soit D une droite : prenons sur cette droite deux points M!(rf, y', z') et W(x\ y\ z"); les coordonnées appelées a, p, y sont les projections du vecteur MM" sur les trois axes coordonnées et les coordonnées appelées p, q, r les moments de ce vecteur par rapport aux trois axes.

EXERCICES

i. Exprimer en fonction des coordonnées a, P, y, p} q, r d'une droite la plus courte distance de cette droite à chacun des axes coordonnés, la distance de cette droite à l'origine et les angles qu'elle fait avec les axes.

2. Exprimer en fonction des coordonnées (a, (3, y, p, q, r) (a, p', y', p'} qr, r') de deux droites leur angle, leur plus courte distance et les équations de la perpendiculaire commune.

3. Étant donné un axe fixe, appelons 8 la plus courte distance d'une droite de coordonnées (a, (3, y, p, q, r) à cet axe et 6 l'angle de cette droite avec l'axe. Démontrer

i° Que les droites satisfaisant à l'équation 8 tang 0 = k, dans laquelle k est une constante, forment un complexe du premier ordre.

2° Que tout complexe du premier ordre peut être défini de cette façon. L'axe fixe est appelé Y axe central du complexe.

4. Dans un complexe du premier ordre, les droites passant par un point M de l'espace engendrent un plan P passant par ce point, et les droites situées dans un plan P enveloppent un point M du plan. On appelle le point M le foyer du plan P. Démontrer que

1° Lorsque le point M décrit un plan H, le plan P passe par un point fixe [x foyer du plan H ; et réciproquement ;

2° Lorsque le point M décrit une droite D, le plan P tourne autour d'une droite fixe A ; et réciproquement.

5. Étudier le complexe formé par l'ensemble de celles des droites D et A de l'exercice précédent qui sont perpendiculaires entre elles.

6. On donne un ellipsoïde. On considère des droites D telles que si, par chacune d'elles, on mène des plans tangents à l'ellipsoïde, les normales aux points de contacts M et M' soient dans un même plan. i° Démontrer que la droite D et la droite des contacts MM' sont rectangulaires; 2° trouver le lieu des droites D qui passent par un point donné A; 3° ce lieu est un cône du second degré ; trouver les positions du point A pour lesquelles ce cône est de révolution; 4° trouver l'en

veloppe G des droites D qui sont contenues dans un plan donné P, et trouver la surface S engendrée par G quand P se déplace parallèlement à un plan Q ; 5° trouver pour quelle direction de Q la surface S est de révolution. (Agrégation j88j.) 7. Les normales aux surfaces homofocales

les droites perpendiculaires à leurs conjuguées par rapport à ces surfaces, et les axes des cônes circonscrits à ces surfaces forment un même complexe du second ordre.

8. Étant donné un ellipsoïde ayant pour équation kx2 + By2 + Cy2 = 1, étudier les deux complexes formés:

i° Par les cordes de la surface qui sont vues du centre sous un angle droit.

20 Par les droites par lesquelles on peut mener deux plans tangents rectangulaires à la surface.

Le premier de ces complexes a pour équations

a* + p* + T2 = (B + G) j)2 + (G + A) g2 + (A + B) r\ et le second

si Ton pose :

9. Étant donné un hyperboloïde à une nappe, on considère toutes les cordes D de cette surface qui sont vues du centre sous un angle droit et l'on demande :

i° L'équation du cône, lieu des cordes D qui passent par un point donné S, ainsi que les positions du point S pour lesquelles ce cône est de révolution ;

20 La courbe à laquelle sont tangentes toutes les droites D situées dans un plan donné P, ainsi que les positions du plan P pour lesquelles cette courbe est une parabole ou une circonférence de cercle. (Concours général i885.)

10. Étudier le complexe formé par les droites qui coupent deux surfaces données du second degré suivant quatre points en proportion harmonique.

11. Étant données deux surfaces du second degré, on considère une droite D telle que les deux plans tangents que Ton peut mener par D à la première surface soient conjugués harmoniques par rapport aux deux plans tangents menés par D à la seconde surface. Étudier le complexe formé par ces droites.

12. Etant données deux surfaces du second degré, étudier le complexe formé par les droites telles que les deux segments déterminés par les deux surfaces, sur chacune de ces droites, aient le même milieu.

Que devient ce complexe lorsque les deux surfaces ont un, deux ou trois plans de symétrie droite ou oblique en commun ?

i3. On considère un système quelconque de forces Fi, F2, . . . F« appliquées à un corps solide et on appelle droite de moment nul un axe A tel que la somme des moments des forces par rapport à A soit nulle. Démontrer que les droites de moment nul forment un complexe du premier ordre dont Taxe central (Exercice 3) est l'axe central du système de forces Fi, F2, . . . F« d'après Poinsot.

14. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse diriger suivant six droites des forces se faisant équilibre est que ces six droites appartiennent à un même complexe du premier ordre.

i5. Des forces appliquées à un corps solide peuvent d'une infinité de manières être réduites à deux F et <ï>. On considère seulement celles de ces réductions dans lesquelles les forces F et $ sont rectangulaires. Démontrer qu'alors les forces F et * appartiennent à un complexe du second ordre. (Exercice identique au fond à l'exercice 5).

16. Lieu géométrique des axes centraux des complexes de premier ordre passant par les droites communes à deux complexes du premier ordre donné. (L'axe central a été défini dans l'exercice 3. On remarquera que si <p = o, ty = o sont les équations de deux complexes du premier ordre, l'équation générale des complexes du premier ordre passant par les droites communes à ces deux complexes est ?4-^=o. Le lieu géométrique demandé est le conoïde droit qui a été appelé cylindroïde par Cayley, et dont l'équation peut, par un choix convenable des axes, être écrite z(x* + y2) = mxy.)