ÉCOLE POLYTECHNIQUE

1860. On donne une parabole P; soient A et B deux points mobiles sur sette courbe, mais tellement choisis que les normales en A et B se coupent en un point C, situé sur P. La tangente en C et la droite AB se coupent en un point M; trouver le lieu décrit par ce point et construire la courbe.

1861. Déterminer les diverses surfaces représentées par l'équation

a (x2 + Zyz) + b(y2 + %zx) + c (z2 + 2xy) = 1

lorsque les paramètres a, 6, c, varient de — o© à + °°- Exprimer que ces surfaces sont de révolution.

1862. Trouver le lieu des centres des surfaces représentées par l'équation

#2 + V2 — z2 + lyxz -f- ^qyz — <2ax — "2by + 2cz — 0 ,

(a, 6, c, étant des nombres positifs donnés; p, q représentant des paramètres variables) : 1° Lorsque p et g varient de toutes les manières possibles; 2° lorsque p et q varient de manière à ce que l'équation donnée représente un cône. Distinguer la partie du lieu qui correspond à des hyperboloïdes à une nappe, de celle qui correspond à des hyperboloïdes à deux nappes.

1863. On donne sur un plan deux circonférences 0, 0'; d'un point A, pris sur 0, on mène des tangentes à 0' et l'on joint les points de contact obtenus. Cette droite coupe la tangente à 0, au point A, en M ; trouver le lieu décrit par M.

Examiner les différentes formes de ce lieu selon la grandeur et la position relatives des circonférences 0 et 0'; indiquer le cas où il se décompose. Faire voir que le lieu des points M est tangent à 0 en chacun des points qui lui sont communs avec cette circonférence.

1864. On considère le cercle qui a pour équation

x2 + y2 = 4 , et la parabole qui est représentée par l'équation

(Pa>- ay)2 + 2as + 2jfy = ^ + f ~~ * ,

où a et p désignent des paramètres positifs quelconques. On propose d« déterminer :

4o Le nombre des points réels communs aux deux courbes, pour les différentes valeurs de a et de p.

2° Les coordonnées des quatre points communs quand on suppose :

a2 + 62 = 1 , ou :

a = l et 6>0,

enfin, lorsque Ton a

1 865. On donne dans un plan une parabole P et l'on considère une circonférence C passant par le foyer de P. On propose d'indiquer les régions du plan où doit se trouver le centre de C, pour que cette circonférence ait successivement avec P : 4° quatre points réels; 2° quatre points imaginaires; 3° deux points réels et deux points imaginaires. On étudiera la forme et les propriétés de la courbe qui sépare les deux premières régions de la troisième.

1866. On considère la parabole et l'hyperbole équilatère qui correspondent, respectivement, aux équations

y2 — %px = 0 , xy — m2 = 0.

On propose :

\o De former l'équation ayant pour racines les abscisses ou les ordonnées des pieds des normales communes à ces deux courbes.

% De déduire de cette équation que le nombre des normales communes est au moins égal à un et au plus égal à trois.

3o De démontrer qu'en supposant

il n'y a qu'une normale commune réelle.

186^. Étant donnés un triangle BOA rectangle en 0 et une droite D, située dans le plan de ce triangle, on propose :

1° De former l'équation générale des hyperboles équilatères circonscrites au triangle BOA; 2° de calculer l'équation du lieu L des points où ces différentes hyperboles ont pour tangentes des parallèles à D; 3° d'examiner les différentes formes du lieu L qui correspondent aux directions diverses de la droite D.

1868. Soient deux paraboles P,, P2, ayant toutes deux pour foyer le point fixe 0 et, pour axes respectifs, les droites fixes OX, OY, droites qu'on suppose rectangulaires. On mène à ces paraboles une tangente commune : soient M, et M2 les points de contact; trouver le lieu décrit par le milieu de Mj M2, sachant que cette droite passe par un point fixe.

1869. On donne un triangle rectangle isocèle AOB et on demande :

4^ L'équation générale des paraboles P tangentes aux trois côtés du triangle AOB ;

2o L'équation de l'axe de l'une quelconque de ces paraboles ;

3o L'équation et la forme du lieu des projections du point 0, sommet de l'angle droit AOB, sur les axes des paraboles P.

18*92. On donne deux axes de coordonnées rectangulaires et deux droites (A) et (B) respectivement parallèles aux axes et l'on demande :

1° De former ('équation générale des courbes du second degré qui ont pour centre l'origine des coordonnées et qui admettent comme normales les droites données (A) et (B);

2° De démontrer que par un point du plan, il passe en général trois de ces courbes, à savoir deux ellipses et une hyperbole;

3* De faire connaître les points du plan pour lesquels cette règle générale souiïre une exception.

IStfS. On donne un cercle et un point A, et l'on demande le lieu des centres des hyperboles équilatères assujetties à passer par le point donné A et à toucher en deux points le cercle donné.

On discutera la courbe obtenue pour les différentes positions du point A et Ton démontrera que, dans le cas général, les points de contact des tangentes qu'on peut mener au lieu par le point A sont situés sur une circonférence de cercle.

48^4. Étant donné un triangle, on sait que, par un point M de son plan, il passe, en général, deux paraboles circonscrites au triangle.

Cela posé, on demande de construire et de discuter le lieu du point M pour lequel les axes des deux paraboles correspondantes forment entre eux un angle donné.

18*35. Trouver le lieu géométrique de l'intersection des deux normales menées à la parabole aux deux extrémités de toutes les cordes dont les projections orthogonales sur une perpendiculaire à l'axe ont une même valeur.

Que dire du cas où l'on fait tendre vers zéro cette valeur de la projection?

Revenant au cas général, on propose de mener par un point quelconque du lieu trois normales à la parabole.

Application particulière au point maximum du lieu.

IS'Î'S. (Question retirée.) Une conique donnée de forme et de grandeuf se déplace de manière que chacun de ses foyers reste sur une droite donnée. A cette conique, parallèlement à l'une des droites données, on mène une tangente; trouver le lieu des points de contact.

IS1?®. i. (Admissibilité.) 4<> Expliquer la recherche du lieu des milieux des cordes parallèles à la droite qui joint l'origine au point dont les coordonnées sont a? = 2, y = i, 5 — d, pour la surface représentée par l'équation

X2 |- 2^2 32:2 j„ %Xy | %x + z — Q.

2o On demande de trouver les limites entre lesquelles doit varier le coefficient a pour que l'équation

3a4 — Ax3 — 42a2 + a = 0

ait ses quatre racines réelles.

2. (Admission.) On considère une hyperbole équilatère fixe et une infinité de cercles concentriques à cette courbe. A chacun des cercles on mène des tangentes qui soient, en même temps, normales à l'hyperbole. On prend le milieu de la distance qui sépare le point de contact avec le cercle variable, du point d'incidence sur l'hyperbole fixe. On demande le lieu décrit par €e milieu. — Si l'équation du lieu se présente sous une forme irrationnelle on devra la rendre rationnelle.

IST1?. 1. (Admissibilité.) 1° On donne une surface rapportée à un systèma de coordonnées rectangulaires

3#2 — 3*/2 -f- z2 — %yz — 4zx + Sxy — 8x + 6y -f %z = 0 ,

trouver l'équation de la même surface par rapport à un même système de plans principaux.

On opérera directement, en supposant connue l'équation du plan diamétral.

2° Démontrer que, dans une équation à coefficients réels, qui a ses racinesréelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variation» du premier membre ordonné suivant les puissances décroissantes de x.

On supposera connue la règle des signes de Descartes.

2. (Admission.) Soit, -^ — ^ = 4, l'équation d'une hyperbole rapportée à

ses axes ; S, yj, les coordonnées d'un point M du plan de l'hyperbole. Par ce point M, on mène deux tangentes à l'hyperbole; soient A et B les pointsde contact.

Trouver l'équation du cercle passant par A, B et le centre 0 de l'hyperbole.

Ce cercle rencontre l'hyperbole en deux points C, D, distincts de A et Bf trouver l'équation de la droite CD.

Si M décrit une ligne droite, aux diverses positions du point M correspondent diverses positions de CD; trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre de l'hyperbole sur ces droites.

IStfS. 1. (Admissibilité.) 4<> Méthode de Newton, fondée sur la considération des dérivées successives, pour trouver une limite supérieure des racines positives d'une équation.

2° Construire la courbe représentée en coordonnées rectangulaires par les deux équations

XT^¥ ' y— 4-**' '

2. (Admission.) On donne une droite D dont l'équation par rapport à deux axes rectangulaires ox et oy est

On considère les différentes coniques qui ayant pour axes ox et oy sont normales à la droite D. Chacune d'elles rencontre cette droite en deux points; en ces points, on mène les tangentes à la conique.

Trouver l'équation du lieu du point de rencontre de ces tangentes.

Démontrer que ce lieu est une parabole et que la distance du foyer de cette parabole à son sommet est le quart de la distance du point 0 à la droite D.

On construira géométriquement l'axe et le sommet de la parabole.

18¥9. 4. (Admissibilité.) 4<> Comment déduit-on du théorème de Sturm les conditions de réalité de toutes les racines d'une équation algébrique de degré donné.

2° Construire la courbe dont l'équation en coordonnées polaires est

v 2 w — 3 cos a) 2. (Admission.) On donne une conique rapportée à ses axes

et un point M cette conique. Par les extrémités d'un diamètre quelconque

de la conique et le point M on fait passer un cercle. Prouver que le lieu décrit par le centre de ce cercle est une conique K passant par l'origine 0 des axes.

Si autour du point 0, on fait tourner deux droites rectangulaires, elles rencontrent la conique K en deux points, prouver que le lieu des points de rencontre des tangentes menées en ces points est la droite perpendiculaire au segment OM et passant par le milieu de ce segment.

Par le point 0 on peut mener, indépendamment de la normale ayant son pied en 0, trois autres droites normales à la conique K.

1° Dans le cas particulier où la conique donnée est une hyperbole équilatère et où a = 1 , & = — 1 , montrer qu'une seule de ces normales est réelle et calculer les coordonnées de son pied.

2o Dans le cas général, trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle formé par les pieds de ces trois normales.

Nota. Le pied de la normale est le point de la courbe d'où part la normale.

fi 880. Soient M et N les points où l'axe des x rencontre le cercle

considérons une quelconque des hyperboles équilatères qui passent par les points M et N; menons par un point Q, pris arbitrairement sur le cercle, des tangentes à l'hyperbole; soient A et B les points où le cercle coupe la droite qui joint les points de contact.

Démontrer que, des deux droites QA et QB, l'une est parallèle à une direction fixe et l'autre passe par un point fixe P.

Le point P étant donné, l'hyperbole équilatère correspondante qui passe par les points M et N est déterminée. On construira géométriquement son centre, ses asymptotes et ses sommets.

Si le point P décrit la droite y = x, quel est le lieu décrit par les foyers de l'hyperbole? On déterminera son équation et on le construira.

1881- 4. On considère une parabole P et une droite AB normale au point A à cette courbe (ce point A se projetant, d'ailleurs, sur l'axe au foyer même de la courbe).

Trouver le lieu des sommets des sections faites dans le cylindre droit qui a pour base P, par des plans passant par AB.

2. On donne une asymptote d'une hyperbole et un point P de la courbe. Sachant que l'un des foyers décrit la perpendiculaire menée du point P sur l'asymptote considérée, on demande le lieu du point M d'intersection de la seconde asymptote avec la directrice correspondant au foyer donné.

1882. On donne deux cercles se coupant aux points A et B. Une conique quelconque passant par ces points et tangente aux deux cercles rencontre l'hyperbole équilatère qui a ces points pour sommets en deux autres points G et D.

lo Démontrer que la droite CD passe par un des centres de similitude des deux cercles donnés.

2o Si l'on considère toutes les coniques qui, passant par A et B, sont tangentes aux deux cercles, démontrer que le lieu de leurs centres se compose de deux circonférences E et F.

3° Soit une conique satisfaisant à la question et ayant son centre sur l'une des circonférences, E ou F; démontrer que les asymptotes de cette conique rencontrent cette circonférence en deux points fixes situés sur Taxe radical des deux circonférences données.

1883. Od donne une parabole et une droite. Trouver le lieu des points tels que les tangentes menées de chacun d'eux à la parabole, forment avec la droite donnée un triangle de surface donnée.

1884. On donne une conique

On joint un point M de cette conique aux deux foyers F et F'

1° On demande d'exprimer les coordonnées du cercle inscrit dans l'intérieur du triangle MFF', au moyen des coordonnées du point M.

2° Dans le cas où la conique donnée est une ellipse, on démontrera que si l'on considère les cercles inscrits dans deux triangles correspondant à deux points M et M' de la conique, l'axe radical de ces deux cercles passe par le point milieu du segment MM'.

3° Pour chaque position du point M, le rayon vecteur FM touche le cercle correspondant en un point P. On déterminera, en coordonnées polaires, l'équation du lieu décrit par le point P. On prendra le foyer F pour origine des rayons, et l'axe des x pour origine des angles.

1885. Par les deux foyers d'une ellipse on fait passer une circonférence de cercle variable.

4° A quelle condition doit satisfaire cette ellipse pour que la circonférence du cercle puisse la rencontrer en quatre points réels et dans quelle portion du petit axe doit-on placer le centre du cercle pour que les quatre points d'intersection soient réels.

2° En chacun des points d'intersection on mène les tangentes à l'ellipse ; trouver, quand le cercle varie, le lieu des sommets du quadrilatère formé par ces tangentes.

3o Quel est le lieu des points d'intersection des côtés de ce quadrilatère avec ceux d'un autre quadrilatère symétrique du premier par rapport au centre de l'ellipse.

Ao On considère les tangentes communes au cercle et à l'ellipse; trouver le lieu de leurs points de contact avec le cercle.

1886. On donne un rectangle ABAB'. Deux hyperboles équilatères A et B ayant toutes deux leurs asymptotes parallèles aux côtés du rectangle passent : l'une (A) par les sommets opposés A et A', l'autre (B) par les sommets opposés B et B' du rectangle.

lo Démontrer que le centre de l'hyperbole A a par rapport à l'hyperbole B la même polaire P que le centre de l'hyperbole B par rapport à l'hyperbole A.

2° Le rectangle restant fixe, on fait varier en même temps les deux hyperboles de manière qu'elles soient égales entre elles sans être symétriques par rapport à l'un des axes de symétrie du rectangle. Examiner si elles se coupent en des points réels. Trouver le lieu du milieu de la droite qui joint leurs centres, et prouver que la droite P est constamment tangente à ce lieu.

3« Si l'on prend une quelconque des hyperboles (A) et une quelconque des hyperboles (B), il existe une infinité de rectangles ayant comme le rectangle donné deux sommets opposés sur chacune de ces hyperboles et les côtés parallèles aux asymptotes. Trouver le lieu des centres de ces rectangles.

188^. On donne dans un plan un point w fixe et deux axes rectangulaires fixes 0%, Oy. Par le point w on fait passer deux droites rectangulaires rencontrant Ox en B et D, Oy en A et G. Par les points A, B, on fait

passer une parabole P tangente aux axes Ox et Oy en ces points ; par les points G, D, on fait passer une parabole P' tangente aux axes Ox et Oy en ces points.

On fait tourner les droites rectangulaires AB, CD autour du point a>, et l'on demande :

4o Les équations des paraboles P, P' de leurs axes et de leurs directrices;

2° L'équation du lieu du point de concours des axes et des directrices ;

3° L'équation du lieu du point de concours de leurs axes, qui se compose de deux cercles;

4° On prouvera que la distance des foyers est constante.

1888. On donne un quadrilatère plan OABG et deux séries de paraboles : les unes tangentes en A à AG et ayant pour diamètre OA; les autres tangentes en B à BG et ayant pour diamètre OB. On demande :

4° Le lieu du point de contact M d'une parabole de la première série avec une parabole de la deuxième série;

2° Indiquer, en laissant le triangle OAB invariable, dans quelle région du plan il faut placer le point G pour que le lieu soit une ellipse et pour qu'il soit une hyperbole ;

3o Démontrer que dans l'hypothèse où OABG est un parallélogramme, la tangente commune en M aux deux paraboles pivote autour du point de concours K des médianes du triangle ABG ;

4° Trouver, dans la même hypothèse, le lieu du point d'intersection P de la tangente en M aux deux paraboles avec l'autre tangente commune DE que Ton peut mener à ces deux courbes.

Nota. On pose OA = a, OB — b.

1889. Étant donnés dans un plan deux axes rectangulaires Ox et Oy et deux séries de paraboles : les unes P, de paramètre p, tangentes à Oy du côté des a; positifs, et ayant leur axe parallèle à Ox; les autres Q, de paramètre q, tangentes à Ox du côté des y positifs et ayant leur axe parallèle à Oy. On demande :

4° Le lieu du centre d'une conique G qui se déplace sans changer de grandeur en passant constamment par les points communs à l'une des paraboles P et à l'une des paraboles Q.

2° De démontrer que si l'on associe une parabole P et une parabole Q de manière que la droite qui joint leurs foyers respectifs reste constamment parallèle à une direction donnée, la somme des angles que font les tangentes communes à ces deux paraboles avec un axe fixe, Occ par exemple, demeure constante, et de trouver, dans ces conditions, le lieu du point de rencontre des axes des deux paraboles.

3° De placer une parabole P et une parabole Q, de façon qu'elles aient trois points communs confondus en un seul et de calculer, pour cette position des deux courbes, les coordonnées de leurs points communs et le coefficient angulaire de leur tangente commune en ce point.

4° De démontrer que tout triangle circonscrit à la fois à l'une quelconque des paraboles P et à l'une quelconque des paraboles Q est inscrit dans mie. conique fixe et de trouver l'équation de cette conique.

1890. On donne, dans un plan, une hyperbole équilatère H, dont l'équation par rapport à ses axes, pris pour axes des cordonnées, est :

D'un point M du plan, ayant pour coordonnées x =p,y — q, on mène des normales à cette courbe.

On demande :

GÉOM. ANALYT. 46

1° De faire passer par les pieds de ces normales une nouvelle hyperbole équilatère dont les normales en ces points soient concourantes et de déterminer leur point de concours ;

2° En désignant par K une hyperbole équilatère satisfaisant à cette condition, dans quelle région du plan doit être placé le point M pour qu'il y ait une hyperbole K correspondant à ce point;

3° Quelle ligne doit décrire le point M pour que l'hyperbole K soit égale à l'hyperbole H.

N. B. — On conservera les notations indiquées.

1891. On donne une parabole P et on porte à partir de chacun de ses points, et dans les deux sens, sur une parallèle à une direction fixe A, des longueurs égales à la distance de ce point au foyer de la parabole.

1° Lieu des extrémités de ces longueurs. Il se compose de deux paraboles P, et P2 : montrer la raison do ce dédoublement.

2° Démontrer que les axes de P, et P2 sont perpendiculaires l'un à l'autre, qu'ils pivotent autour d'un même point indépendant de A et que, quelque soit cette direction, la somme des carrés des paramètres de ces paraboles est constante;

3° Trouver et construire le lieu décrit par les sommets des paraboles P, et P2 quand on fait varier A. On prendra, comme axes, l'axe et la tangente au sommet de la parabole donnée de paramètre p. On désignera par 0 l'angle de A avec l'axe des x.

1892. On donne une hyperbole équilatère Y et une circonférence (G) décrite sur une corde DD' de cette hyperbole comme diamètre.

1° On mène dans la circonférence une corde perpendiculaire à DD' : démontrer que la moitié de cette corde est moyenne proportionnelle entre les distances de son milieu aux points où elle rencontre l'hyperbole;

2° Indiquer dans quel cas les points d'intersection de la circonférence et de l'hyperbole sont réels;

3° Trouver le lieu des points de rencontre des sécantes communes à l'hyperbole et à la circonférence, lorsque la corde DD' se déplace en restant parallèle à une direction fixe;

4° Soit H, un des points communs à l'hyperbole et aucercle mobile, À le point où la tangente à la circonférence en H coupe l'hyperbole, B le point où la tangente à l'hyperbole en H coupe la circonférence : prouver que la droite AB passe par un point fixe.

(Voyez à la fin les compositions de 1893.)

COŒCOUIRg GE^EÏ^AÏi